§ 73. Диаграммы Фейнмана для рассеяния электронов

Покажем на конкретных примерах, каким образом осуществляется вычисление элементов матрицы рассеяния. Эти примеры облегчат дальнейшую формулировку общих правил инвариантной теории возмущений.

Оператор тока содержит произведение двух электронных -операторов. Поэтому в первом порядке теории возмущений могли бы возникнуть процессы, в которых участвуют всего (в начальном и конечном состояниях) три частицы — два электрона (оператор ) и один фотон (оператор А). Легко, однако, видеть, что такие процессы между свободными частицами невозможны — они запрещены законом сохранения энергии и импульса. Если — 4-импульсы электронов, a k — фотона, то сохранение 4-импульса изображалось бы равенством или Но такие равенства невозможны, так как для фотона а квадрат заведомо отличен от нуля. Действительно, вычисляя значение инварианта в системе покоя одного из электронов, получаем

Поскольку

Таким образом, первые неисчезающие (недиагональные) элементы -матрицы могут появиться лишь во втором порядке теории возмущений. Все относящиеся сюда процессы содержатся в операторе второго порядка, получающемся при разложении выражения (72,12):

Поскольку электронные и фотонные операторы коммутативны друг с другом, фигурирующее здесь Г-произведение можно разбить на два Г-произведения:

В качестве первого примера рассмотрим упругое рассеяние двух электронов: в начальном состоянии имеем два электрона с 4-импульсами а в конечном — два электрона с другими 4-импульсами . Подразумевается также, что все электроны находятся в определенных спиновых состояниях; индексы спиновых переменных для краткости везде опускаем.

Поскольку в обоих состояниях фотоны вообще отсутствуют, нужный нам матричный элемент Г-произведения фотонных операторов есть диагональный элемент где символ обозначает состояние фотонного вакуума. Это среднее по вакууму значение Г-произведения представляет собой определенную (для каждой пары индексов ) функцию координат двух точек При этом в силу однородности -пространства координаты могут входить лишь в виде разности Тензор

называют фотонной функцией распространения (или фотонным пропагатором). Явное выражение для нее будет получено в § 76.

Для Г-произведения электронных операторов нам надо вычислить матричный элемент

где символы 112), 134) обозначают состояния с парами электронов с соответствующими импульсами. Этот элемент тоже может быть представлен в виде среднего по вакууму с помощью очевидного равенства

где F — произвольный оператор, а — операторы соответственно рождения первого и уничтожения второго электрона. Поэтому вместо (73,4) можно вычислять величину

(индексы для краткости заменяют ).

Каждый из двух операторов тока есть произведение каждый из -операторов представляется суммой

(вторые члены содержат позитронные операторы, которые в данном случае «не работают»). Поэтому произведение представляется в виде суммы членов, каждый из которых содержит произведение двух операторов и двух

Эти операторы должны обеспечить уничтожение электронов 1, 2 и рождение электронов 3, 4. Другими словами, это должны быть операторы которые, как говорят, свертываются с «внешними» операторами в (73,5) и сокращаются согласно равенствам

В зависимости от того, которых -операторов берутся в (73,5) возникают четыре члена

где дугами соединены свертываемые операторы, т. е. те, из которых берется пара операторов для сокращения согласно (73,7). В каждом из этих членов последовательными перестановками операторов приводим сопряженные операторы к попарному соседству и т. п.), после чего среднее значение их произведения сводится к произведению средних значений (73,7). Учитывая, что все эти операторы антикоммутативны (1, 2, 3, 4 — различные состояния!) найдем, что матричный элемент (73,4) равен

Отметим, что общий знак этой суммы условен и зависит от порядка, в котором мы расположили «внешние» электронные операторы в (73,5). Это обстоятельство соответствует тому, что общий знак матричного элемента для рассеяния тождественных фермионов вообще произволен. Относительный же знак различных членов в (73,9) от принимаемого порядка расположения внешних операторов, конечно, не зависит.

Два члена в первой и второй строках (73,9) отличаются друг от друга лишь одновременной перестановкой индексов аргументов

Такая перестановка не изменит, очевидно, и матричный элемент (73,3) (в котором порядок множителей все равно устанавливается символом Т). Поэтому после перемножения (73,3) и (73,9) и интегрирования по четыре члена в (73,9) дают попарно одинаковый результат, так что матричный элемент

(73,10)

обратим внимание на исчезновение множителя

Электронные волновые функции — плоские волны (64,8), поэтому выражение в фигурных скобках

где Интегрирование по заменяется интегрированием по Интеграл по дает -функцию (в силу которой ). Перейдя затем от матрицы S к матрице М (см. § 64), получим окончательно для амплитуды рассеяния

(73,11)

Здесь введена фотонная функция распространения в импульсном представлении

(73,12)

Каждый из двух членов амплитуды (73,11) может быть символически представлен в виде так называемых диаграмм Фейнмана. Первый член представляется диаграммой

(73,13)

Каждой из точек пересечения линий (вершине диаграммы) сопоставляется множитель . «Входящие» сплошные линии, направленные к вершине, отвечают начальным электронам; им сопоставляются множители и — биспинорные амплитуды соответствующих электронных состояний.

«Выходящие» сплошные линии, направленные от вершин — конечные электроны; этим линиям сопоставляются множители . При «прочтении» диаграммы указанные множители записываются слева направо в порядке, соответствующем передвижению вдоль сплошных линий против направления стрелок. Обе вершины соединены пунктирной линией, отвечающей виртуальному (промежуточному) фотону, «испускаемому» в одной вершине и «поглощаемому» в другой; этой линии сопоставляется множитель — . 4-импульс виртуального фотона k определяется «сохранением 4-импульса в вершине»: равенством суммарных импульсов входящих и выходящих линий; в данном случае Помимо всех перечисленных множителей, диаграмме в целом приписывается еще общий множитель (показатель степени — число вершин в диаграмме), и в таком виде она входит слагаемым в Аналогичным образом второй член в (73,11) представляется диаграммой

(73,14)

(надо иметь в виду, что Безразлично, начинать ли прочтение диаграммы от конца или получающиеся при этом выражения совпадают друг с другом в силу симметричности тензора Безразличен также выбор направления линии виртуального фотона: изменение этого направления приведет лишь к изменению знака k, несущественному в силу четности функций (см. § 76).

Линии, отвечающие начальным и конечным частицам, называют внешними линиями или свободными концами диаграммы. Диаграммы (73,13) и (73,14) отличаются друг от друга обменом двух свободных электронных концов Такая перестановка двух фермионов меняет знак диаграммы; это правило соответствует тому, что в амплитуду (73,11) оба члена входят с разными знаками.

Мы будем в дальнейшем всегда пользоваться диаграммами Фейнмана в описываемом, импульсном, представлении. Отметим, однако, что эти диаграммы могут быть приведены в соответствие с членами амплитуды рассеяния также и в их первоначальном координатном — представлении (интегралы (73,10)). Роль электронных амплитуд при этом играют соответствующие координатные волновые функции, а пропагаторы берутся в координатном представлении.

Каждой вершине отвечает одна из переменных интегрирования или множители, приписываемые пересекающимся в одной вершине линиям, берутся в функции этой переменной.

Рассмотрим теперь взаимное рассеяние электрона и позитрона; их начальные импульсы обозначим соответственно а конечные .

Операторы рождения и уничтожения позитронов входят в операторы (73,6) вместе соответственно с операторами уничтожения и рождения электронов. В то время, как в предыдущем случае уничтожение обеих начальных частиц обеспечивалось оператором а рождение обеих конечных — оператором

здесь роль этих операторов противоположна по отношению к электронам и позитронам. Поэтому сопряженной функцией будет описываться теперь начальный позитрон, а конечный позитрон — функцией (причем обе — об -импульса с обратным знаком). С учетом этого различия получим в результате амплитуду рассеяния

(73,15)

Первый и второй члены в этом выражении представляются следующими диаграммами:

Правила составления диаграмм меняются лишь в части, касающейся позитронов. По-прежнему входящим сплошным линиям сопоставляется множитель и, а выходящим . Но теперь входящие линии отвечают конечным, а выходящие — начальным позитронам, причем импульсы всех позитронов берутся с обратным знаком.

Обратим внимание на различный характер двух диаграмм (73,16). В первой диаграмме в одной из вершин пересекаются линии начального и конечного электрона, в другой вершине — то же самое для позитрона. Во второй же диаграмме в каждой из вершин пересекаются линии электронов и позитронов — начальных и конечных; в верхней как бы происходит аннигиляция пары с испусканием виртуального фотона, а в нижней — рождение пары из фотона.

Это различие отражается и в свойствах виртуальных фотонов в обеих диаграммах. В первой диаграмме (диаграмма «рассеивательного» типа) 4-импульс виртуального фотона равен разности 4-импульсов двух электронов (или позитронов); поэтому (ср. (73,1)). Во второй же диаграмме («аннигиляционной») и потому . Отметим в этой связи, что для виртуального фотона всегда в отличие от реального фотона, для которого

Если сталкивающиеся частицы не тождественны и не являются частицей и античастицей (скажем, электрон и мюон), то амплитуда рассеяния изобразится всего одной диаграммой:

(73,17)

Диаграмма же аннигиляционного или обменного типа в этом случае невозможна. Мы получим этот результат аналитически, написав оператор тока как сумму электронного и мюонного токов

и взяв в произведении матричные элементы от членов, производящих требуемые уничтожения и рождения частиц.

Вернемся к процессам первого порядка, запрещенным, как было указано в начале параграфа, законом сохранения 4-импульса. Матричные элементы оператора

(73,18)

для таких переходов отвечают рождению или уничтожению «в одной и той же точке трех реальных частиц: двух электронов и одного фотона.

Они возникают в результате свертывания операторов в одной точке и определяются (например, для испускания фотона) интегралами вида

обращающимися в нуль благодаря наличию в подынтегральном выражении множителя с отличным от нуля показателем. На языке диаграмм это значит, что равны нулю диаграммы с тремя свободными концами

(73,19)

По этой же причине невозможны процессы второго порядка, в которых участвовали бы (в начальном и конечном состояниях) Шесть частиц. В матричном элементе соответствующих переходов интеграл по распался бы на произведение двух обращающихся в нуль интегралов по от произведений трех волновых функций, взятых в одной и той же точке. Другими словами, соответствующие диаграммы распались бы На две независимые диаграммы вида (73,19).