§ 36. Движение в кулоновом поле

Изучение свойств движения в наиболее важном случае кулонова поля начнем с исследования поведения волновых функций на малых расстояниях. Будем говорить для определенности о поле притяжения: .

При малых в уравнениях (35,5) можйо опустить члены с ; тогда

Функции входят в каждое из этих уравнений равноправным образом. Поэтому обе ищем в виде одинаковых степеней . Подстановка в уравнения дает

откуда

Пусть Тогда у вещественно, причем из двух значений должно быть выбрано положительное: соответствующее решение либо не расходится при , либо расходится менее быстро, чем другое. Такой выбор можно обосновать путем рассмотрения потенциала, обрезанного (как было объяснено в предыдущем параграфе) на некотором малом с дальнейшим переходом к пределу аналогичные рассуждения в III, § 35). Таким образом,

Хотя волновая функция и может обратиться при в бесконечность (если интеграл от остается, разумеется, сходящимся. Если то оба значения у из (36,2) — мнимые. Соответствующие решения при осциллируют (как ), что снова отвечает, как уже было объяснено выше, недопустимой в релятивистской теории ситуации «падения» на центр. Так как это значит, что чисто кулоново поле можно рассматривать в теории Дирака лишь при

Остановимся на качественном описании ситуации, возникающей при Снова, чтобы избежать неопределенности в граничном условии при следует рассматривать потенциал, обрезанный на некотором расстоянии (И. Я. Померанчук, Я. А. Смородинский, 1945). Это имеет не только формальный, но и прямой физический смысл. Заряд фактически может быть сосредоточен только в некотором «сверхтяжелом» ядре конечного радиуса. Рассмотрим поэтому, как меняется расположение уровней с увеличением Z при заданном

В «необрезанном» кулоновом поле энергия нижнего уровня обращается при в нуль и кривая зависимости обрывается — при уровень становится мнимым (см. (36,10)). В «обрезанном» же поле, при заданном , уровень проходит через нуль лишь при некотором Но значение никак не выделено физически, а при оно ничем не выделено и формально — кривая зависимости здесь не обрывается. При дальнейшем увеличении Z уровни продолжают понижаться, и при некотором «критическом» значении энергия достигает границы нижнего континуума уровней. Как было объяснено в предыдущем параграфе, это означает обращение в нуль энергии, требуемой для рождения свободного позитрона. Поэтому критическое значение — это максимальный заряд, которым может обладать «голое» ядро при заданном

При уровень и становится энергетически выгодным рождение двух электрон-позитронных пар. Позитроны уходят на бесконечность, унося кинетическую энергию а два электрона заполняют уровень ь В результате образуется «ион» с заполненной -оболочкой и зарядом (С. С. Герштейн, Я. Б. Зельдович, 1969). Эта система устойчива при вплоть до значений Z, когда границы — m достигнет следующий уровень.

Наконец отметим, что даже в случае точечного заряда ход потенциала на малых расстояниях искажается за счет радиационных поправок. Их учет приводит, однако, лишь к поправкам значению .

Обратимся теперь к точному решению волнового уравнения (С. Darwin, 1928; W. Gordon, 1928).

Дискретный спектр . Будем искать функции f и g в виде

где введены обозначения

Такая форма представляется естественной ввиду известного уже нам поведения функций при (36,2) и их экспоненциального затухания при . Поскольку при первое равенство (35,9) должно выполняться и в случае кулонова поля, следует ожидать, что при будет Подставив (36,3) в (35,4), получим уравнения

(штрих означает дифференцирование по ). Их сумма и разность дают

или, после исключения или ,

(надо учесть, что ). Решение этих уравнений, конечное при

где — вырожденная гипергеометрическая функция.

Положив в каком-либо из уравнений (36,5) р = 0, найдем связь между постоянными А и

Обе гипергеометрические функции в (36,6) должны сводиться к полиномам (в противном случае они будут возрастать при как , а с ними будет возрастать — как — и вся волновая функция). Функция сводится к полиному, если параметр а равен целому отрицательному числу или нулю. Обозначим

Если то обе гипергеометрические функции сводятся к полиномам. Если же , то сводится к полиному лишь одна из них. Но равенство означает, что и тогда, как легко проверить, . Если , то коэффициент В (36,7) обращается в нуль, так что и требуемое условие не нарушается. Если же то остается при расходящейся функцией. Таким образом, допустимы следующие значения квантового числа

Из определения (36,8) находим теперь следующее выражение для дискретных уровней энергии:

(36,10)

В частности, энергия основного уровня :

При первые члены разложения формулы (36,10) дают

Обозначив и заметив, что мы вернемся к формуле (34,4), полученной нами ранее с помощью теории возмущений. Как уже было указано в конце § 34, дальнейшие члены этого разложения не имеют смысла, поскольку они заведомо перекрываются радиационными поправками. Формула (36,10), однако, имеет смысл в своем точном виде при . Отметим, что обнаруживаемое приближенной формулой двукратное вырождение уровней сохраняется и в точной формуле: поскольку в нее входит лишь уровни с разными I при одном и том же по-прежнему совпадают.

В волновой функции нам осталось еще определить общий нормировочный коэффициент А. Как всегда, волновая функция дискретного спектра должна быть нормирована условием

для функций это означает условие

Коэффициент А проще всего найти по асимптотическому виду функций при . С помощью асимптотической формулы

(см. III (d, 14)) находим

Сравнив эту формулу с выражением (36,22), которое будет найдено ниже, определим А. Собрав затем полученные формулы, выпишем окончательные выражения для нормированных волновых функций:

(36,11)

(верхние знаки относятся к нижние — к ).

Непрерывный спектр Нет необходимости заново решать волновое уравнение для состояний непрерывного спектра. Волновые функции этого случая получаются из функций дискретного спектра заменой

(о выборе знака при аналитическом продолжении корня см. III, § 128). Заново, однако, должна быть произведена нормировка функций.

Проделав в (36,11) указанную замену, представим функции и g в виде

где A — новая нормировочная постоянная и введены обозначения

(величина вещественна, поскольку ).

Согласно известной формуле

(см. III (d, 10)) имеем

поэтому

(36,14)

Нормировочный коэффициент А определяется сравнением асимптотического выражения для этой функции с общей формулой (35,7) для нормированной сферической волны. Выпишем сразу получающееся таким образом выражение для волновых функций непрерывного спектра (и затем проверим его):

(36,15)

Асимптотическое выражение для этой функции находится с помощью формулы III (d, 14), в которой в данном случае существен только первый член (второй убывает с более высокой степенью :

где

(36,17)

или

Отметим для будущих ссылок выражение фаз в ультрарелятивистском случае ()

Выражение (36,16) отличается от (35,8) лишь логарифмическим членом в аргументе тригонометрической функции. Как и в случае уравнения Шредингера, медленность убывания кулонова потенциала приводит к искажению фазы волны, которая становится медленно меняющейся функцией

При аналитическом продолжении в область выражение (36,18) принимает вид

Оно имеет полюсы в точках, где (полюсы Г-функции в числителе), а также в точке (если при этом ); как и следовало ожидать, эти точки совпадают с дискретными уровнями энергии. Вблизи какого-либо из полюсов с имеем

Вид Г-функции вблизи ее полюса находится с помощью известной формулы

( — уровень энергии). Таким образом

(36,21)

В конце предыдущего параграфа была получена формула (35,11), связывающая вычет функции в ее полюсе с коэффициентом в асимптотическом выражении волновой функции соответствующего связанного состояния. В случае кулонова поля, однако, эта формула должна быть несколько видоизменена в связи с тем, что вместо постоянного фазового сдвига 6 (как это было в (35,7)) в (36,16) стоит сумма . В левой стороне (35,11) надо поэтому писать не а

Используя (36,21) и определяя из (35,11) коэффициент (который будет теперь степенной функцией ), находим асимптотический вид нормированной волновой функции дискретного спектра:

Эта формула была уже использована для определения коэффициента в (36,11).