§ 136. Дважды логарифмическая асимптотика вершинного оператора
Когда вычисленные в предыдущем параграфе поправки 
достигают значений порядка единицы, вычисление вершинного оператора требует суммирования всей бесконечной последовательности дважды логарифмических членов всех степеней по а. Решение этой задачи оказывается возможным благодаря тому, что такие члены возникают только от диаграмм определенного типа, а вклады диаграмм различного порядка оказываются связанными друг с другом простыми соотношениями.
Именно, дважды логарифмические члены возникают, как мы убедимся ниже, от всех диаграмм вида
(136,1)
и т. п., в которых каждая из фотонных линий соединяет правую и левую электронные линии; при этом они могут любым образом пересекаться друг с другом.
Перенумеруем фотонные импульсы 
в порядке следования, скажем, правых концов их линий. Тогда различные диаграммы одинакового порядка будут отличаться друг от друга перестановкой левых концов фотонных линий. В каждом интеграле Фейнмана производим пренебрежения в числителе и знаменателе, подобные тем, которые были сделаны в интеграле (135,5); после этого числитель преобразуем тем же способом, что и при выводе (135,11). В результате сумма всех диаграмм с 
фотонными линиями, составляющая член 
в Г, представится в виде
(136,3)
где сумма берется по всем перестановкам индексов у импульсов 
в произведениях 
(члены Ю и 
в знаменателях для краткости не выписываем).
Очевидно, что если переставить в сумме (136,3) каким-либо образом индексы у множителей 
в произведениях 
то это сведется лишь к переобозначению импульсов и потому не изменит значения 
Поэтому можно распространить суммирование в (136,3) по всем перестановкам множителей 
как в произведениях 
так и в (
), разделив после этого результат на 
Воспользуемся теперь важной формулой
где сумма берется по перестановкам индексов 
Двукратное применение этой формулы сводит сумму интегралов к произведению 
одинаковых интегралов вида (135,19) (или (135,26)), так что
(136,5)
Подставив это в (136,2) и просуммировав 
по всем n = 0, 1, 2,..., получим окончательно
(136,6)
В частности, подставив сюда 
из (135,22), получим дважды логарифмическую асимптотику вершинного оператора с виртуальными электронными концами
(136,7)
(В. В. Судаков, 1956).
Подставив же 
из (135,29), найдем асимптотику для вершинного оператора в случае реальных электронных концов:
(136,8)
Множитель, отличающий 
от его невозмущенного значения 
определяет также и отличие амплитуды рассеяния электрона во внешнем поле от ее борновского значения. Поэтому сечение рассеяния
Для устранения инфракрасной расходимости надо, однако, еще умножить это выражение на сумму вероятностей испускания различного числа мягких фотонов с энергией, не превышающей некоторого малого сотах, т. е. на величину (см. (122,2))
(136,10)
Интеграл в экспоненте берем из (120,14) (выражение, стоящее множителем при 
) и в результате находим окончательно следующую асимптотическую формулу для сечения рассеяния электрона с энергией 
при большой передаче импульса:
(136,11)
(А. А. Абрикосов, 1956). Первый (по а) член разложения этого выражения совпадает, естественно, с формулой (122,12).
Обратим внимание на то обстоятельство, что если положить 
, то один из логарифмов в (136,11) становится порядка единицы; другими словами, дважды логарифмические поправки сокращаются, если рассматривать сечение с одновременным испусканием фотонов любых энергий. В принятом приближении экспоненциальный множитель в (136,11) обращается тогда в единицу, так что сечение оказывается совпадающим с борновским — в соответствии с общим утверждением в конце § 98.
