§ 112. Регуляризация интегралов Фейнмана

Рассмотренные в § 110 физические условия перенормировки позволяют, в принципе, получить однозначным образом конечное значение амплитуды всякого электродинамического процесса при ее вычислении в любом приближении теории возмущений.

Ознакомимся прежде всего с характером расходимостей, возникающих в интегралах, написанных непосредственно по диаграммам Фейнмана. Важные указания на этот предмет дает подсчет степеней виртуальных 4-импульсов, входящих в подынтегральные выражения для этих интегралов.

Рассмотрим диаграмму порядка (т. е. содержащую вершин), имеющую электронных и фотонных внешних линий. Число четно, и электронные линии образуют непрерывных последовательностей, каждая из которых начинается и заканчивается внешним концом.

Число же внутренних электронных линий в каждой такой последовательности на единицу меньше числа вершин на ней; поэтому полное число внутренних электронных линий в диаграмме равно

В каждую вершину входит одна фотонная линия; в вершинах фотонная линия — внешняя, а в остальных — внутренняя. Поскольку каждая внутренняя фотонная линия связывает две вершины, полное число таких линий равно

Каждой фотонной внутренней линии сопоставляется множитель содержащий k в степени — 2. Каждой же электронной внутренней линии сопоставляется множитель содержащий (при ) в степени 1. Таким образом, суммарная степень -импульсов в знаменателе диаграммы равна

Число же интегрирований (по или ) в диаграмме равно числу внутренних линий, за вычетом числа налагаемых на виртуальные импульсы дополнительных условий (из законов сохранения в вершинах один связывает импульсы внешних концов диаграммы). Учетверив, получим число интегрирований по всем компонентам -импульсов:

Наконец, разность между числом интегрирований и степенью импульсов в знаменателе интегрируемого выражения (обозначим ее ) равна

(112,1)

Отметим, что это число не зависит от порядка диаграммы .

Условия для диаграммы в целом, вообще говоря, недостаточно для сходимости интеграла; необходимо, чтобы были отрицательны аналогичные числа и для внутренних блоков, которые можно было бы выделить из диаграммы. Наличие блоков с привело бы к их расходимости, хотя остальные интегрирования в диаграмме и сходились бы при этом даже «с избытком». Условия однако, достаточно для сходимости простейших диаграмм, в которых и имеется всего одно интегрирование по

Если же , то интеграл во всяком случае расходится. При этом степень расходимости — не менее чем если число четно, и не менее чем если нечетно (уменьшение степени расходимости на 1 в последнем случае связано с обращением в нуль интеграла от произведений нечетного числа -векторов при интегрировании по всему -пространству). Степень расходимости может увеличиться при наличии внутренних блоков с

Отметим, что так как — целые положительные числа, из (112,1) видно, что существует лишь несколько пар значений этих чисел, при которых . Перечислим простейшие диаграммы каждого из таких типов, но сразу же исключим из них случаи (вакуумные петли) и (среднее значение вакуумного тока), поскольку они не имеют физического смысла и соответствующие диаграммы должны просто отбрасываться, как уже было указано в § 103. Остальные случаи таковы:

(112,2)

В первом из этих случаев расходимость квадратичная, а во всех остальных или -логарифмическая.

Диаграмма -первая поправка к вершинному оператору. Она должна удовлетворять условию (110,19), которое запишем здесь в виде

(112,3)

где

(112,4)

Обозначим интеграл Фейнмана, записанный прямо по диаграмме, посредством . Этот интеграл логарифмически расходится и сам по себе условию (112,3) не удовлетворяет. Мы, однако, получим величину, удовлетворяющую этому условию, образовав разность

(112,5)

Главный член расходимости в интеграле получится, если считать в подынтегральном выражении 4-импульс виртуального фотона f сколь угодно большой величиной. Он имеет вид

и не зависит от значений 4-импульсов внешних линий. Поэтому в разности (112,5) расходимость сокращается и получается конечная величина. О такой операции устранения расходимости путем вычитаний говорят как о регуляризации интеграла.

Подчеркнем, что возможность регуляризации интеграла путем одного вычитания обеспечивается тем, что в данном случае расходимость — лишь логарифмическая, т. е. наименее сильная из всех возможных. Если бы в интеграле содержались расходимости различных порядков, то одно вычитание при могло бы оказаться недостаточным для устранения всех расходящихся членов.

После определения первой поправки в Г (первого члена разложения первая поправка в электронном пропагаторе (диаграмма (112,2,6)) может быть вычислена по тождеству Уорда (108,8), которое можно записать также и в виде

(112,6)

введя массовый оператор вместо вместо Г. Это уравнение должно быть проинтегрировано с граничным условием

(112,7)

следующим из (110,20).

Наконец, для вычисления первого члена разложения поляризационного оператора обратимся к тождеству (108,14); после упрощения по двум парам индексов оно дает уравнение

связывающее скалярные функции

Обе эти функции зависят только от скалярной же переменной и поэтому находим

(112,8)

где штрихи означают дифференцирование по Ввиду условия из этого уравнения ясно, что должно быть и

(112,9)

В первом приближении теории возмущений определяется диаграммой (с 4-импульсами концов k, k, 0, 0).

Соответствующий интеграл Фейнмана (обозначим его ) расходится логарифмически, и его регуляризация осуществляется одним вычитанием по условию (112,9):

После этого определяется решением уравнения (112,8) с граничными условиями

В следующем приближении теории возмущений поправка к вершинному оператору определяется диаграммами Из них неприводимая (106,10,г) вычисляется такой же регуляризацией интегралов с помощью одного вычитания согласно (112,5), как и при вычислении поправки первого приближения Содержащиеся же в приводимых диаграммах внутренние собственно-энергетические и вершинные части более низкого порядка сразу заменяются известными уже (регуляри-зованными) величинами первого приближения , после чего получившиеся интегралы регуляризуются снова согласно (112,5). Поправки могут быть затем вычислены с помощью уравнений (112,6) и (112,8).

Описанная систематическая процедура дает, в принципе, возможность получить конечные выражения для Ж и в любом приближении теории возмущений. Тем самым становится возможным и вычисление амплитуд физических процессов рассеяния, описывающихся диаграммами, в которые блоки входят как составные части.

Мы видим, таким образом, что установленные выше (см. § 111) физические условия оказываются достаточными для однозначной регуляризации всех встречающихся в теории диаграмм Фейнмана. Это обстоятельство является отнюдь не тривиальным свойством квантовой электродинамики и носит название перенормируемости.

Для фактического вычисления радиационных поправок описанная выше процедура может, однако, оказаться не наиболее простым и рациональным путем. В следующей главе мы увидим, в частности, что целесообразный путь может начинаться с вычисления мнимой части соответствующих величин; эти части даются интегралами, не содержащими расходимостей. Вся величина в целом определяется затем путем аналитического продолжения с помощью дисперсионных соотношений. Тем самым оказывается возможным избежать громоздких вычислений, требуемых для прямой регуляризации путем вычитаний.