§ 65. Реакции с поляризованными частицами

В этом параграфе мы покажем на простых примерах, каким образом учитывается при вычислении сечения рассеяния поляризационное состояние участвующих в реакции частиц.

Пусть в начальном и в конечном состояниях имеется по одному электрону. Тогда амплитуда рассеяния имеет вид

где — биспинорные амплитуды начального и конечного электронов, А — некоторая матрица (зависящая от импульсов и поляризаций остальных участвующих в реакции частиц, если таковые имеются).

Сечение рассеяния пропорционально Имеем

или

где

Таким образом,

Если начальный электрон находился в смешанном (частично поляризованном) состоянии с матрицей плотности и если нас интересует сечение процесса с образованием конечного электрона в определенном наперед заданном поляризационном состоянии , то надо заменить произведения компонент биспинорных амплитуд

Тогда

Матрицы плотности даются формулой (29,13)

(и аналогично для ).

Если начальный электрон не поляризован, то

Подстановка этого выражения эквивалентна усреднению по поляризациям электрона. Если требуется определить сечение рассеяния с произвольной поляризацией конечного электрона, то надо положить также и удвоить результат; эта операция эквивалентна суммированию по поляризациям электрона. Таким образом, получим

где означает суммирование по начальным и конечным поляризациям, а множитель превращает одно из суммирований в усреднение.

Матрица плотности в (65,4) — вспомогательное понятие, характеризующее, по существу, свойства детектора (выделяющего ту или иную поляризацию конечного электрона), а не процесса рассеяния как такового. Возникает вопрос о поляризационном состоянии электрона, в которое он приводится процессом рассеяния самим по себе. Если — матрица плотности этого состояния, то вероятность детектирования электрона в состоянии получится проецированием на , т. е. образованием следа Этой же величине будет пропорционально соответствующее сечение, т. е. квадрат Сравнив с (65,4), мы заключим, что

Поскольку заранее известно, что должно иметь вид (65,5) с некоторым -вектором дело сводится к определению последнего. Это можно было бы сделать по формуле (29,14), но еще проще поступить, как будет указано ниже.

Мы видели в § 29, что компоненты -вектора а выражаются через компоненты -вектора — среднего (удвоенного) значения спина электрона в его системе покоя. Поляризационные состояния электронов полностью определяются этими векторами, и целесообразно выражать через них также и сечение рассеяния. Очевидно, что квадрат будет линеен по каждому из векторов и относящихся к начальному и конечному электронам. Как функция от он будет иметь вид

где сами — линейные функции .

Вектор в (65,9) — заданная поляризация конечного электрона, выделяемая детектором. Вектор же отвечающий матрице плотности легко найти следующим образом. Согласно сказанному выше

Ввиду релятивистской инвариантности этой величины можно вычислять ее в любой системе отсчета. В системе покоя конечного электрона имеем согласно (29,20)

Поэтому

и, сравнив с (65,9), находим, что

(65,10)

Таким образом, вычислив сечение как функцию параметра мы тем самым определим и поляризацию

В более сложных случаях (более чем по одному начальному или конечному электрону) вычисления производятся аналогичным образом по изложенной схеме.

Так, если в начале и конце имеется по два электрона, амплитуда рассеяния приобретает вид

где — биспинорные амплитуды начальных, а — конечных электронов. При образовании квадрата появятся члены вида

и вида

Первые приводятся к произведениям двух следов вида (65,4), а вторые — к следам вида

Позитроны описываются амплитудами «отрицательной частоты» Для реакций с участием позитронов отличие от изложенного выше сводится к тому, что в качестве матриц плотности надо пользоваться выражениями, отличающимися от (65,5-6) лишь изменением знака перед (ср. (29, 16-17)).

Обратимся к поляризационным состояниям участвующих в реакции фотонов.

Поляризация каждого начального фотона входит в амплитуду рассеяния линейно в виде 4-вектора , а каждого конечного фотона — в виде е. В обоих случаях в сечение (т. е. квадрат ) входит 4-тензор

Для перехода к случаю произвольного частично поляризованного состояния этот тензор должен быть заменен четырехмерной матрицей плотности — 4-тензором

(65,11)

В частности, для неполяризованного фотона, согласно (8,15),

(65,12)

Таким образом, усреднение по поляризациям фотона сводится к тензорному свертыванию в по соответствующим двум тензорным индексам

Если требуется произвести не усреднение, а суммирование по поляризациям фотона, то надо заменить вдвое большим выражением:

Матрица плотности поляризованного фотона дается формулой (8,17). Выбор 4-векторов фигурирующих в этом выражении, диктуется обычно конкретными условиями задачи. В одних случаях эти векторы могут быть связаны с определенными пространственными направлениями в некоторой системе отсчета. В других случаях более удобно связывать их с фигурирующими в условиях задачи характерными 4-векторами — 4-импульсами частиц.

В (8,17) поляризация фотона описывается параметрами Стокса, составляющими «вектор» Как и для электрона, необходимо отличать поляризацию конечного фотона как такового от поляризации выделяемой детектором. Если известен квадрат амплитуды рассеяния как функция параметра

то поляризация что аналогично формуле (65,10).