§ 56. Фотоэффект. Нерелятивистский случай

В § 49—52 мы рассматривали радиационные переходы (испускание или поглощение фотона) между атомными уровнями дискретного спектра.

Фотоэффект отличается от такого процесса поглощения фотона лишь тем, что конечное состояние относится к непрерывному спектру.

Сечение фотоэффекта может быть вычислено до конца в аналитическом виде для атома водорода или для водородоподобного иона (с зарядом ядра Z <С 137).

В начальном состоянии имеем электрон на дискретном уровне (I — потенциал ионизации атома) и фотон с определенным импульсом к. В конечном состоянии электрон имеет импульс (и энергию ). Поскольку пробегает непрерывный ряд значений, сечение фотоэффекта дается формулой

(ср. (44,3)), причем волновая функция конечного состояния электрона предполагается нормированной на одну частицу в объеме Таким же образом по-прежнему нормирована волновая функция фотона; для. перехода к сечению вероятность должна быть при этом разделена на плотность потока фотонов (равную но в релятивистских единицах это не отражается на виде формулы (56,1).

Выберем, как и в (45,2), трехмерно поперечную калибровку фотона. Тогда

где обозначено

— начальная и конечная волновые функции электрона). Заменив в (56,1) и проинтегрировав -функцию по перепишем эту формулу в виде

Мы произведем вычисления в двух случаях, различающихся значением энергии фотона: для и для со Поскольку , эти две области частично перекрываются (при ), так что исследование этих случаев дает по существу полное описание фотоэффекта.

Начнем со случая

(56,4)

При этом скорость электрона мала как в начальном, так и в конечном состоянии, так что по отношению к электрону задача — целиком нерелятивистская. Соответственно этому заменим в (56,2) а нерелятивистским оператором скорости (ср. § 45).

Кроме того, можно перейти к дипольному приближению— положить , т. е. пренебречь импульсом фотона по сравнению с импульсом электрона. Тогда

Будем рассматривать фотоэффект с основного уровня атома водорода (или водородоподобного иона). Тогда

(в обычных единицах где — боровский радиус).

В качестве же надо взять волновую функцию, асимптотическая форма которой содержит плоскую волну и наряду с ней сходящуюся сферическую (см. III, § 136, где такая функция обозначалась В силу правила отбора по I переход из -состояния возможен лишь в -состояние (дипольный случай). Поэтому в разложении 1)

достаточно оставить лишь член с Опустив несущественные фазовые множители, получим

С функциями из (56,6), (56,8) имеем

Согласно III (36,18) и III (36,24) радиальная функция (в принятых здесь единицах)

где обозначено:

Нужный нам интеграл вычисляется с помощью формулы

(см. III (f, 3)). Заметив также, что

получим

Энергия ионизации с основного уровня атома водорода (или водородоподобного иона) . Поэтому

(56,10)

Учитывая это соотношение, пишем окончательное выражение для сечения фотоэффекта с испусканием электрона в элемент телесного угла :

(56,11)

где (здесь и ниже — обычные единицы). Отметим, что угловое распределение фотоэлектронов определяется множителем Он максимален в направлениях, параллельных направлению поляризации падающих фотонов, и обращается в нуль в перпендикулярных вектору направлениях, в том числе в направлении падения. Для неполяризованных фотонов формула (56,11) должна быть усреднена по направлениям , что сводится к замене

где (см. (45,46)).

Интегрирование же формулы (56,11) по углам дает полное сечение фотоэффекта:

(56,12)

Предельное значение а при

(56,13)

(в знаменателе ).

Как и должно быть для реакции с образованием заряженных частиц (см. III, § 147), сечение фотоэффекта вблизи его порога стремится к постоянному пределу.

Случай же (причем по-прежнему ) отвечает борновскому приближению Формула (56,12) принимает вид

(56,14)

( энергия ионизации атома водорода).

Процессом, обратным фотоэффекту, является радиационная рекомбинация электрона с неподвижным ионом. Сечение этого процесса (орек) можно найти по сечению фотоэффекта с помощью принципа детального равновесия (III, § 144). Согласно этому принципу сечения процессов (с двумя частицами в каждом из состояний i и ) связаны соотношением

где — импульсы относительного движения частиц, а — спиновые статистические веса состояний i и Учитывая также, что для фотона (два направления поляризации), а статистический вес свободного электрона и иона равен статистическому весу основного состояния атома водорода, получаем для этого состояния

(56,15)

— импульс падающего электрона, k — импульс испускаемого фотона).

Задачи

1. Получить формулу (56,14) путем прямого использования борновского приближения в нерелятивистском случае.

Решение. В борновском приближении в качестве в формуле (56,5) надо писать просто плоскую волну — по-прежнему функций (56,6). Тогда

Фурье-компонента дается формулой (57,66), так что

Подставив в (56,5) и проинтегрировав по получим (56,14) (при этом, с достаточной точностью, ).

2. Определить полное сечение радиационной рекомбинации быстрого нерелятивистского электрона с ядром (заряд

Решение. Сечение захвата на К-оболочку (главное квантовое число получается подстановкой (56,14) в (56,15):

— энергия падающего электрона; . Из других состояний образующегося атома существенны лишь -состояния: при вычислении матричного элемента в борцовском приближении существенны значения волновой функции связанного состояния при малых (как это будет видно из вычислений в § 57), а при эти значения малы по сравнению со значениями функций с ; при этом достаточно учитывать два первых члена разложения по степеням . Для состояний с и произвольным эти члены

т. е. содержат лишь в виде общего множителя (написанное выражение получается разложением функции III (36,13)). Поэтому полное сечение рекомбинации

(значение -функции: )