§ 109. Электронный пропагатор во внешнем поле

Если система находится в заданном внешнем поле то точный электронный пропагатор определяется той же формулой (105,1), но в гамильтониан , осуществляющий преобразование к гейзенберговскому представлению операторов, входит также и взаимодействие электронов с внешним полем:

(109,1)

Поскольку внешнее поле нарушает однородность пространства и времени, то пропагатор будет зависеть теперь уже от обоих аргументов в отдельности, а не только от их разности

Если перейти обычным образом к представлению взаимодействия, то получится обычная диаграммная техника, в которой наряду с виртуальными фотонными линиями будут фигурировать также и линии внешнего поля. Такая техника, однако, неудобна в тех случаях, когда внешнее поле нельзя рассматривать как малое возмущение, прежде всего — когда частицы в поле могут находиться в связанных состояниях. Между тем электронный пропагатор во внешнем поле необходим в первую очередь как раз для изучения свойств связанных состояний, в частности для определения уровней энергии с учетом радиационных поправок. Для построения такого пропагатора следует исходить из представления операторов, в котором внешнее поле учитывается точно, уже в нулевом приближении по электрон-фотонному взаимодействию (W. H. Furry, 1951).

В дальнейшем мы будем предполагать внешнее поле стационарным, т. е. не зависящим от времени.

Требуемое представление -операторов дается формулами (32,9) вторичного квантования во внешнем поле:

(109,2)

где — волновые функции и уровни энергии соответственно электрона и позитрона, являющиеся решениями «одночастичной» задачи — уравнения Дирака для частицы в поле. Легко понять, что операторы (109,2) являются -операторами в некотором представлении (представлении Фарри), как бы промежуточном между гейзенберговским и представлением взаимодействия. Их можно записать в виде

где

Оператор же электромагнитного поля разумеется, коммутирует со вторым членом в Я), и потому для него представление Фарри совпадает с представлением взаимодействия.

Электронный пропагатор нулевого приближения в новом представлении определяется как

(109,4)

Оператор удовлетворяет уравнению Дирака во внешнем поле

(109,5)

а функция — соответственно уравнению

(109,6)

(ср. вывод (107,5)).

Диаграммная техника, выражающая точный пропагатор в виде ряда по строится путем перехода от гейзенберговского представления к представлению Фарри — в точности так, как мы производили ранее переход к представлению взаимодействия. Мы получим в результате диаграммы того же вида, причем сплошным линиям будут соответствовать теперь множители (вместо ).

Незначительное отличие в правилах записи аналитических выражений диаграмм возникает лишь в связи с тем, что в координатном представлении — функция не только от разности . В постоянном внешнем поле, однако, сохраняется однородность времени, и потому моменты t и t по-прежнему будут входить лишь в виде разности так что

Переход к импульсному представлению осуществляется разложением Фурье по каждому из аргументов функции:

(109,7)

Каждой линии, которой отвечает множитель должно приписываться теперь одно значение виртуальной энергии , но два значения импульса — начальный и конечный

(109,8)

В результате получается правило записи аналитических выражений диаграмм, в которых обычным образом производятся интегрирования по а по интегрирования производятся независимо, с учетом сохранения импульса в каждой вершине. Например,

Важно отметить, что в излагаемой технике необходимо учитывать также и диаграммы с «замкнутыми на себя» электронными линиями, которые в обычной технике отбрасываются как связанные с «вакуумным током». При наличии внешнего поля этот ток уже не должен обращаться в нуль в связи с вызываемой полем «поляризацией вакуума». Так, в диаграмме

(109,10)

верхней петле отвечает множитель

Здесь, однако, надо еще уточнить смысл, придаваемый интегралу по . Дело в том, что интегрирование компоненты Фурье функции по сводится к взятию значения этой функции при но функция разрывна в этой точке, так что надо указать, какое именно из ее двух предельных значений должно быть взято. Для выяснения этого вопроса достаточно заметить, что интеграл (109,11) происходит от свертывания операторов, стоящих в одном и том же операторе тока:

где стоит слева от Согласно определению пропагатора такой порядок множителей при получится, если понимать t как т. е. предельное значение функции — t) — как предел при Иначе можно сказать, что интеграл по в (109,11) надо понимать как

(109,12)

Массовый оператор во внешнем поле определяется так же, как в § 105: - есть сумма всех компактных собственноэнергетических блоков. Он является теперь функцией энергии и импульсов на тех концах внешних линий, которыми они соответственно входят и выходят из блока:

(109,13)

Поступая в точности так, как при выводе (105,6), получим уравнение

Более естественный вид этому уравнению можно придать, если вернуться к координатному представлению по пространственным переменным, введя функцию

(109,15)

и аналогично для других величин. Произведя в (109,14) обратное преобразование Фурье, получим

Применим теперь к обеим сторонам равенства оператор

( — число, — оператор дифференцирования по координатам ). При этом надо учесть, что согласно (109,6)

(109,16)

В результате получим следующее уравнение:

(109,17)

Особая ценность функции состоит в том, что ее полюсы определяют уровни энергии электрона во внешнем поле.

Покажем это сначала для приближенной функции Подставив операторы (109,2) в определение пропагатора (109,4), получим (в точности аналогично формулам (75,12) для пропагатора свободных частиц)

и после перехода к компонентам Фурье по времени

(109,19)

Мы видим, что как аналитическая функция имеет на положительной вещественной полуоси полюсы, совпадающие с уровнями энергии электрона, а полюсы на отрицательной полуоси совпадают с уровнями энергии позитрона. Значения образуют непрерывный спектр, и соответствующие полюсы сливаются в два разреза плоскости : от до и от до На отрезке лежат полюсы, определяющие дискретные уровни энергии.

Для точного пропагатора можно получить аналогичное разложение, выразив его через матричные элементы шредингеровских операторов, с которыми матричные элементы гейзенберговских -операторов связаны равенствами

(109,20)

Здесь — точные (т. е. со всеми радиационными поправками) уровни энергии системы во внешнем поле. Оператор увеличивает, а оператор уменьшает на 1 (т. е. на ) заряд системы. Это значит, что в матричных элементах состояния должны соответствовать равному заряду системы, т. е. могут содержать, помимо одного позитрона, лишь некоторое число электрон-позитронных пар и фотонов; энергии этих состояний обозначим Аналогичным образом в матричных элементах состояния содержат один электрон и некоторое число пар и фотонов (энергия ). Вместо (109,18) получим теперь

(109,21)

и отсюда

(109,22)

Пусть близко к какому-либо из дискретных уровней энергии (или к одному из ). Тогда из всей суммы в (109,22) можно оставить лишь один соответствующий полюсный член. Подставив его затем в (109,17), мы увидим, что множители, зависящие от второго аргумента из уравнения выпадают. В результате мы получим однородное интегродифференциальное уравнение для функции которую мы обозначим для краткости Опуская индекс , имеем

(109,23)

(J. Schwinger, 1951). Дискретные уровни энергии выступают теперь как собственные значения этого уравнения. Тем самым уравнение (109,23) становится основой регулярной процедуры для определения этих уровней.

Выразим, например, из (109,23) поправку первого порядка по к дискретному уровню энергии электрона полученному в результате решения уравнения Дирака

(109,24)

волновая функция пусть нормирована условием

(109,25)

Собственную функцию уравнения (109,23) запишем в виде

(109,26)

где поправка к Подставив (109,26) в уравнение (109,23), умножив его слева на и проинтегрировав по цолучим искомое выражение

(109,27)