§ 69. Симметрия спиральных амплитуд рассеяния

Требования, налагаемые симметрией по отношению к преобразованиям Р, С, Т (если, конечно, данный процесс взаимодействия частиц действительно обладает этой симметрией), приводят к появлению определенных связей между различными спиральными амплитудами рассеяния и тем самым уменьшают число независимых амплитуд.

Для установления этих связей выясним предварительно свойства симметрии спиральных состояний системы двух частиц.

Рассмотрим частицы в системе их центра инерции. Одна обладает импульсом и спиральностью относительно направления , а другая — импульсом и спиральностью относительно направления . Если же определять спиральности для обеих частиц относительно одного и того же направления , то они будут равны и Соответственно они будут описываться плоскими волнами с амплитудами и Система же обеих частиц описывается функцией (многокомпонентной) составленной из произведений амплитуд

Рассматривая теперь систему как одну частицу со спиральностью в направлении мы можем написать волновую функцию (в импульсном представлении, т. е. как функцию ) для состояния с определенными значениями (а также полной энергии ):

(ср. (68,8)). Так как есть проекция полного момента на р, должно быть

Согласно (16,14) при инверсии

где — внутренние четности частиц. Использовав также (16,10), найдем закон преобразования функций (69,1):

Если частицы тождественны, то возникает вопрос о симметрии по отношению к их перестановке. Перестановка частиц означает перестановку их импульсов и спинов. Для уяснения смысла этой операции в применении к функции (69,1) замечаем, что в ее определении имеется асимметрия, состоящая в том, что моменты обеих частиц проецируются на направление одного и того же вектора — импульса одной (первой) из частиц. После перестановки место этого вектора займет вектор проекции моментов на этот вектор будут — (вместо проекций и на ). Поэтому результат воздействия оператора перестановки частиц на функцию (69,1) можно записать как

где по-прежнему

Использовав затем (69,3) и (16,10), найдем

где

Для тождественных частиц допустимы состояния лишь симметричные (для бозонов) или лишь антисимметричные (для фермионов) относительно перестановки. Поскольку первый случай имеет место при целом, а второй при полуцелом спине частиц s, в обоих случаях допустимые спиральные состояния системы двух частиц можно записать в виде линейных комбинаций

или согласно (69,5)

Замечательно, что эта комбинация имеет единый вид для бозонов и фермионов.

Для системы из частицы и античастицы результат перестановки выражается той же формулой (69,5). Однако, в отличие от случая тождественных частиц, здесь допустимы состояния обеих перестановочных симметрий, т. е. обе комбинации

Эти состояния обладают определенными зарядовыми четностями С. Операцию зарядового сопряжения можно представить как результат полной перестановки всех переменных (спиновых и зарядовых) двух частиц с последующей обратной перестановкой спиновых переменных (спиральностей). Результат первой операции должен совпадать с результатом перестановки в системе двух тождественных частиц. Отсюда ясно, что при верхнем знаке в (69,7) (совпадающем со знаком в допустимом для тождественных частиц состоянии (69,6)) система будет зарядовочетна, а при нижнем знаке — зарядово-нечетна:

Наконец, рассмотрим операцию обращения времени. Волновая функция покоящейся частицы со спином s и его проекцией о преобразуется согласно

(см. III (60,2)). Волновую функцию двух частиц в системе их центра инерции тоже можно рассматривать (в отношении трансформационных свойств) как волновую функцию «покоящейся частицы» с моментом и его проекцией М.

Что касается спиральностей , то они не меняются: обращение времени меняет знак векторов импульса и момента, а потому произведения не меняются. Таким образом,

Теперь можно сразу написать соотношения симметрии для спиральных амплитуд.

Если взаимодействие Р-инвариантно, то для реакции

должны совпадать (при заданных ) амплитуды переходов

Использовав (69,4), найдем поэтому

Если же вместо состояний с определенными спиральностями выбрать состояния с определенными четностями, т. е. комбинации

то обратятся в нуль амплитуды переходов, не сохраняющих четность.

Обращение времени преобразует каждое состояние согласно (69,8) и, кроме того, переставляет начальные и конечные состояния. Поэтому Г-инвариантность приводит к соотношениям

(69,10)

Эти две амплитуды, однако, относятся к различным процессам (прямая и обратная реакции). Лишь в случае упругого рассеяния оба процесса по существу совпадают, и тогда (69,10) представляет собой определенную связь между спиральными амплитудами одной и той же реакции.

При упругом рассеянии двух тождественных частиц число различных амплитуд уменьшается еще и в силу перестановочной симметрии. Мы видели, что при заданном осуществляются либо только симметричные, либо только антисимметричные по состояния. Тем самым сохранение момента автоматически означает сохранение также и симметрии по отношению к перестановке спиральностей.

Аналогичная ситуация имеет место при упругом рассеянии частицы на античастице (или при превращении такой пары в другую пару, т. е. при реакции вида ).

При заданном J существуют как симметричные, так и антисимметричные по состояния, но этим состояниям отвечают разные значения зарядовой четности системы. Отсюда следует, что если взаимодействие частиц С-инвариантно, так что зарядовая четность сохраняется, то переходы между состояниями различной симметрии по запрещены Подчеркнем, однако, отличие от случая тождественных частиц, когда при каждом заданном состояния одной из симметрий вообще отсутствуют. В случае же «частица — античастица» запрещены лишь переходы между состояниями различной симметрии, хотя сами эти состояния (для каждого ) существуют.

В силу универсальной СРТ-инвариантности существование Г-инвариантности означает также и -инвариантность. Последняя приводит к равенству амплитуд двух реакций, из которых одна получается из другой заменой всех частиц античастицами (и изменением знака спиральностей), причем

(69-11)

Число независимых амплитуд одинаково для всех кросс-каналов одной и той же обобщенной реакции; поэтому для определения этого числа можно рассматривать любой из каналов. Так, одинаковым числом независимых амплитуд описываются упругое рассеяние а и аннигиляция . При этом ограничения, налагаемые в первом случае Г-инвариантностью, эквивалентны ограничениям, налагаемым во втором случае С-инвариантностью.

Остановимся еще на реакции распада одной частицы на две: . В системе центра инерции (система покоя частицы а) имеем Умножив на равенство получим

(69,12)

(спиральность первичной частицы определена как проекция ее спина на направление импульса одной из вторичных частиц). Это соотношение является, можно сказать, следствием дополнительной симметрии, которой обладает данный процесс: аксиальной симметрии вокруг направления Если спин первичной частицы то соотношение (69,12) уменьшает число допустимых наборов значений и тем самым число независимых спиральных амплитуд распада.

Полный момент J в данном случае совпадает со спином первичной частицы так что является фиксированной величиной.

Р-инвариантность при распаде выражается соотношением

(69,13)

(здесь использован наряду с (69,4) также и закон преобразования волновой функции одной частицы (16,16)).

Когда первичная частица истинно нейтральна, дальнейшие ограничения возникают, если сохраняется С-четность. Здесь надо различать три случая. Если продукты распада тоже истинно нейтральны, то должно быть это условие либо запрещает распад вовсе, либо удовлетворяется, не приводя к новым ограничениям. Если частицы b и с вообще различны, то С-инвариантность устанавливает соотношение между амплитудами различных процессов: Наконец, для распада возникает ограничение, связанное с тем, что при заданной зарядовой четности С и заданном полном моменте система может находиться лишь в состояниях либо симметричных, либо антисимметричных по спиральностям — в зависимости от четности числа J и знака С.

-инвариантность приводит к равенству амплитуд распадов :

причем т. е. к равенству вероятностей распада частицы и античастицы. Если частица может распадаться различными способами (по разным каналам), то это равенство относится к каждому из каналов. Подчеркнем, однако, что этот результат предполагает соблюдение СР-инвариантности, не ляющейся универсальным свойством природы. Универсальный характер имеет лишь СРТ-инвариантность; это требование само по себе привело бы лишь к равенству

в котором правая сторона относится к процессу, обратному распаду. Мы увидим ниже (см. § 71), что условие СРТ-инвариантности вместе с требованиями унитарности все же приводит к некоторому, хотя и более ограниченному соотношению для вероятностей распада частицы и античастицы.

Задачи

1. С помощью (69,6) получить классификацию возможных состояний системы двух фотонов.

Решение. В этом случае При четных согласно (69,6) допускаются три симметричных по состояния:

При нечетных допускается одно антисимметричное состояние:

Состояния в) и г) обладают в то же время определенной (+1) четностью: согласно (69,4)

множитель так как верхний знак относится к четным, а нижний к нечетным значениям I. Состояния же а) и б) сами по себе не обладают определенной четностью, но, составив из них комбинации

мы получим четные и нечетные состояния. При допускаются (в связи с условием ) лишь так что состояние в) выпадает, и остаются лишь одно четное и одно нечетное состояния а) и б). Наконец, при единственное допустимое при нечетных J состояние г) запрещено, так как для него Таким образом, мы приходим к таблице допустимых состояний (9,5).

2. В нерелятивистском приближении полный момент системы есть результат сложения спина S и орбитального момента L. Для системы двух частиц найти связь между состояниями

Решение. Согласно правилу составления волновых функций при сложении моментов имеем

Здесь — собственные функции спина s с проекцией а (на фиксированную ось z), — то же для орбитального момента L с проекцией выражение в скобках отвечает сложению в S, после чего S складывается с L в суммирование — по всем -индексам. Выразим все функции в импульсном представлении как функции направления (импульса ), причем функции выразим с помощью III (58,7) через функции спиральных состояний

Для функции же имеем

(использованы III (58,25) и определение (16,5)). Подставив эти функции в (!), воспользуемся дважды разложением III (110,1), а также свойством ортогональности коэффициентов Клебша — Гордана III(106,13). В результате получим в виде разложения

(2)

где

а коэффициенты

В силу унитарности преобразования (2)