§ 33. Разложение по степеням 1/c

Мы видели (см. § 21), что в нерелятивистском пределе ) две компоненты биспинора обращаются в нуль. Поэтому при малых скоростях электрона Это дает возможность получить приближенное уравнение, содержащее только двухкомпонентную величину , путем формального разложения волновой функции по степеням

Исходим из уравнения Дирака для электрона во внешнем поле в виде

(33,1)

В релятивистской энергии частицы содержится также и ее энергия покоя Для перехода к нерелятивистскому приближению она должна быть исключена, для чего вместо вводим функцию согласно

Тогда

Представив в виде получим систему уравнений

(ниже будем опускать штрихи у что не вызовет недоразумений, так как в этом параграфе мы пользуемся только преобразованной функцией ).

В первом приближении в левой стороне уравнения (33,3) оставляем лишь член и получаем

(отметим, что ). Подстановка этого выражения в (33,2) дает

Для матриц Паули справедливо соотношение

где a, b — произвольные векторы (см. (20,9)).

В данном случае но векторное произведение не обращается в нуль в силу некоммутативности и А:

Таким образом,

( где магнитное поле), и для получается уравнение

Это — так называемое уравнение Паули. Оно отличается от нерелятивистского уравнения Шредингера наличием в гамильтониане последнего члена, который имеет вид потенциальной энергии магнитного диполяво внешнем поле (ср III, § 111). Таким образом, в первом (по 1/с) приближении электрон ведет себя как частица, обладающая наряду с зарядом также и магнитным моментом:

При этом гиромагнитное отношение двое больше, чем это было бы для магнитного момента, связанного с орбитальным движением.

Плотность . В первом приближении второй член должен быть отброшен, так что как и должно быть для шредингеровского уравнения.

Плотность же тока:

Согласно (33,4) подставляем сюда

а произведения, содержащие по два множителя о, преобразуются с помощью формулы (33,5), представленной в виде

В результате получается

в согласии с выражением III (115,4) из нерелятивистской теории.

Найдем теперь второе приближение, продолжив разложение до членов Будем предполагать при этом, что имеется только электрическое внешнее поле

Прежде всего замечаем, что с учетом членов плотность

Это выражение отличается от шредингеровского. Имея в виду найти (во втором приближении) волновое уравнение, аналогичное уравнению Шредингера, мы должны ввести вместо другую,(двухкомпонеитную) функцию для которой сохраняющийся во времени интеграл имел бы вид как это должно быть для уравнения Шредингера.

Для нахождения требуемого преобразования пишем условие

и производим интегрирование по частям:

(или то же с переставленными . Таким образом,

откуда видно, что

(33,11)

Для упрощения записи будем считать, что состояние стационарно, т. е. заменим оператор энергией (с вычтенной энергией покоя). В следующем (после (33,4)) приближении имеем из (33,3):

Это выражение надо подставить в (33,2), после чего заменить на согласно (33,11), опуская все время члены более высокого порядка, чем

После простого вычисления получим уравнение для в виде где гамильтониан

Выражение в фигурных скобках преобразуется с помощью формул

где — электрическое поле Окончательное выражение для гамильтониана:

(33,12)

Последние три члена — искомые поправки порядка Первый из них — следствие релятивистской зависимости кинетической энергии от импульса (разложение разности с ). Второй член, который может быть назван энергией спин-орбитального взаимодействия, — энергия взаимодействия движущегося магнитного момента с электрическим полем. Последний же член отличен от нуля только в тех точках, где находятся заряды, создающие внешнее поле; так, для кулонова поля точечного заряда (С. G. Darwin, 1928).

Если электрическое поле центрально-симметрично, то

и оператор спин-орбитального взаимодействия можно представить в виде

(33,13)

Здесь — оператор орбитального момента, — оператор спина электрона, — потенциальная энергия электрона в поле.