§ 44. Испускание и поглощение

Вероятность перехода под влиянием возмущения Р в первом приближении дается известными формулами теории возмущений (III, § 42). Пусть начальное и конечное состояния излучающей системы относятся к дискретному спектру. Тогда вероятность (в единицу времени) перехода с испусканием фотона есть

где v условно обозначает совокупность величин, характеризующих состояние фотона и пробегающих непрерывный ряд значений (при этом волновая функция фотона предполагается нормированной на -функцию «по шкале v»).

Если испускается фотон с определенным значением момента, то единственной непрерывной величиной является частота . Интегрирование формулы (44,1) по устраняет -функцию (заменяя огтределенным значением ), и тогда вероятность перехода

Если же рассматривается испускание фотона с заданным импульсом к, то При этом предполагается, что волновая функция фотона (плоская волна) нормирована на один фотон в объеме как это принято везде в этой книге; есть число состояний, приходящихся на фазовый объем Таким образом, вероятность испускания фотона с заданным импульсом запишется в виде

или после интегрирования по

Сюда должен быть подставлен матричный элемент из (43,10).

В следующих параграфах мы воспользуемся этими формулами для вычисления вероятности излучения в различных конкретных случаях.

Здесь мы рассмотрим некоторые общие соотношения между различными видами радиационных процессов.

Если в начальном состоянии поля уже имелось отличное от нуля число данных фотонов, то матричный элемент перехода умножается еще на

т. е. вероятность перехода умножается на . Единица в этом множителе отвечает спонтанному испусканию, происходящему и Член же обусловливает вынужденное (или индуцированное) испускание: мы видим, что наличие фотонов в начальном состоянии поля стимулирует дополнительное испускание таких же фотонов.

Матричный элемент перехода с обратным изменением состояния системы отличается от элемента заменой

(и заменой остальных величин их комплексно-сопряженными). Этот обратный переход представляет собой поглощение фотона системой, переходящей с уровня на уровень Поэтому между вероятностями испускания и поглощения фотона (для заданной пары состояний i, f) имеет место важное соотношение

(оно было впервые указано А. Эйнштейном в 1916 г.).

Свяжем число фотонов с интенсивностью падающего извне на систему излучения. Пусть

есть энергия излучения, падающего в единицу времени на единицу площади и имеющего поляризацию , частоту — в интервале и направление волнового вектора — в элементе телесного угла Указанным интервалам отвечают осцилляторов поля, на каждый из которых приходится по фотонов заданной поляризации. Поэтому ту же энергию (44,7) мы получим, составив произведение

Отсюда находим искомое соотношение:

Пусть есть вероятность спонтанного излучения фотона с поляризацией в телесный угол индексами (инд) и (погл) отметим аналогичные вероятности для индуцированного испускания и поглощения. Согласно (44,6) и (44,8) эти вероятности связаны между собой следующими соотношениями:

Если падающее излучение изотропно и не поляризовано не зависит от направлений ), то интегрирование (44,9) по и суммирование по дают аналогичные соотношения между полными вероятностями радиационных переходов (между заданными состояниями i и f системы)

(44,10)

где — полная спектральная интенсивность падающего излучения.

Если состояния i и f излучающей (или поглощающей) системы вырождены, то полная вероятность излучения (или поглощения) данных фотонов получается суммированием по всем взаимно вырожденным конечным состояниям и усреднением по всем возможным начальным состояниям. Обозначим кратности вырождения (статистические веса) состояний i и посредством Для процессов спонтанного и индуцированного испускания начальными являются состояния i, а для поглощения — состояния f. Предположив в каждом случае все или начальных состояний равновероятными, получим, очевидно, вместо (44,10), следующие соотношения:

В литературе часто используются так называемые коэффициенты Эйнштейна, определяемые как

(44,12)

(величина есть пространственная спектральная плотность энергии излучения). Они связаны друг с другом соотношениями

(44,13)