§ 37. Рассеяние в центрально-симметричном поле

Напишем асимптотическое выражение для волновой функции частицы, рассеивающейся в поле неподвижного силового центра, в виде

Здесь биспинорная амплитуда падающей плоской волны. Биспинор же является функцией направления рассеяния , а при каждом заданном значении совпадает по форме (но, конечно, не по нормировке!) с биспинорной амплитудой плоской волны, распространяющейся в направлении .

Мы видели в § 24, что биспинорная амплитуда плоской волны полностью определяется заданием двухкьмпонентной величины -спинора w, представляющего собой нерелятивистскую волновую функцию в системе покоя частицы. Через этот спинор выражается и плотность потока: она пропорциональна (с коэффициентом пропорциональности, зависящим только от энергии и, следовательно, одинаковым для падающих и рассеянных частиц).

Поэтому сечение рассеяния или, если (как и в § 24) нормировать падающую волну условием ,

Введем оператор рассеяния f согласно определению

Ввиду двухкомпонентности величин w, w определенный таким образом оператор аналогичен операторной амплитуде рассеяния, фигурирующей в нерелятивистской теории рассеяния с учетом спина (III, § 140). Поэтому непосредственно переносятся сюда полученные там формулы, выражающие оператор через фазовые сдвиги волновых функций в рассеивающем поле. Надо лишь произвести переобозначение этих фаз, выразив введенные в III, § 140 сдвиги 6? и через фазовый сдвиг фигурирующий в релятивистской формуле (35,7). Напомним, что фазы относились к состояниям с орбитальным моментом I и полным моментом Согласно определению при при . Поэтому мы должны переобсзначить

(и помнить, что индекс у задает теперь значение числа и!). Таким образом, получим следующие формулы:

где v — единичный вектор в направлении

Поскольку w — спинорная волновая функция в системе покоя, то и поляризационные свойства рассеяния описываются с помощью f теми же формулами, что и в III, § 140.

В случае кулонова поля оказывается возможным выразить обе функции через одну. Укажем вкратце ход соответствующих вычислений.

Для кулонова поля фазы даются формулой (36,18), которую представим в виде

(замечаем, что при при . С помощью введенных таким образом величин ряды (37,4-5) могут быть представлены в виде

(37,7)

где

При преобразовании ряда использованы следующие рекуррентные соотношения между полиномами Лежандра!

С другой стороны, в силу тождества

(37,11)

функции связаны друг с другом соотношением

Тем самым оказываются выраженными через одну функцию