§ 74. Диаграммы Фейнмана для рассеяния фотона

Рассмотрим другой эффект второго порядка — рассеяние фотона на электроне (эффект Комптона). Пусть в начальном состоянии фотон и электрон имеют 4-импульсы а в конечном (а также определенные поляризации, которые для краткости не указываем).

Фотонный матричный элемент

где

Свертывая внешние и внутренние операторы, получаем

(при этом учтена коммутативность операторов по этой же причине знак Т в данном случае может быть опущен). Электронный матричный элемент

В нем фигурируют четыре -оператора. Только два из них будут заняты уничтожением электрона 1 и рождением электрона 2, т. е. будут свернуты с операторами Это могут быть операторы или (но не или ); рождение и уничтожение в одной и той же точке или двух реальных электронов вместе с одним реальным фотоном приводит к равному нулю выражению). Произведя свертывание двумя способами, получим в матричном элементе (74,3) два члена; выпишем их сначала в предположении

В первом члене свертываются операторы

Поскольку операторы и диагональный стоят на краях произведения, они заменяются их средним по вакууму значением, т. е. единицей. Для аналогичного преобразования второго члена в (74,4) надо сперва «протащить» оператор налево, а направо. Это осуществляется с помощью правил коммутации операторов в силу которых

В результате выражение (74,4) преобразуется к виду

(разумеется, усреднению подвергаются лишь операторные множители). Аналогичным образом при получим выражение, отличающееся перестановкой штриха и индексов

Оба выражения можно записать в едином виде, введя хронологическое произведение -операторов согласно определению

— биспинорные индексы).

Тогда первые и вторые члены в (74,6-7) можно записать единым образом:

обозначает матрицу

Обратим внимание на то, что в естественно возникшем определении (74,8) произведения операторов при берутся с различными знаками. Этим оно отличается от определения Г-произведения, которым мы пользовались для операторов . Происхождение этого различия связано с тем, что мионные операторы антикоммутируют вне светового конуса (в отличие от коммутирующих бозонных операторов А, а также билинейных операторов - Тем самым обеспечивается релятивистская инвариантность определения (74,8) (формальное доказательство правил коммутации операторов будет дано в § 75).

Введем электронную функцию распространения (или электронный пропагатор) — биспинор второго ранга согласно определению

(74,10)

Тогда электронный матричный элемент запишется в виде

(74,11)

После умножения на фотонный матричный элемент (74,1) и интегрирования по оба члена в (74,11) дают одинаковый результат, так что получается

(74,12)

Подставив для электронных и фотонных волновых функций плоские волны (64,8-9) и выделив -функцию, как это было сделано для (73,10), получим окончательно амплитуду рассеяния

(74,13)

где -векторы поляризации фотонов, — электронный пропагатор в импульсном представлении.

Два члена в этом выражении представляются следующими диаграммами Фейнмана:

Пунктирные свободные концы диаграмм отвечают реальным фотонам; входящим линиям (начальный фотон) сопоставляется множитель а выходящим линиям (конечный фотон) — множитель где - 4-вектор поляризации. В первой диаграмме начальный фотон поглощается вместе с начальным электроном, а конечный испускается вместе с конечным электроном. Во второй диаграмме испускание конечного фотона происходит вместе с уничтожением начального электрона, а поглощение начального фотона — с рождением конечного электрона.

Внутренняя сплошная линия (соединяющая обе вершины) отвечает виртуальному электрону, 4-импульс которого определяется сохранением 4-импульса в вершинах. Этой линии сопоставляется множитель . В отличие от 4-импульса реальной частицы квадрат 4-импульса виртуального электрона не равен Рассматривая инвариант например, в системе покоя электрона, легко найти, что

(74,15)