§ 110. Физические условия перенормировки

Излагавшаяся до сих пор в этой главе теория носила в значительной степени формальный характер. Мы оперировали со всеми величинами так, как если бы они были конечными, и намеренно не обращали внимания на встречающиеся в теории бесконечности. Между тем при фактическом вычислении функций, по теории возмущений встречаются расходящиеся интегралы, которым нельзя, без привлечения дополнительных соображений, приписать какого-либо определенного значения. В возникновении таких расходимостей проявляется логическое несовершенство излагаемой квантовой электродинамики. Мы увидим, однако, что в этой теории можно установить определенные предписания, позволяющие однозначным образом производить «вычитание бесконечностей» и в результате получать конечные значения для всех величин, имеющих непосредственный физический смысл. В основе этих предписаний лежат очевидные физические требования, сводящиеся к тому, чтобы масса фотона была равна нулю, а заряд и масса электрона были равны их наблюдаемым значениям.

Начнем с выяснения условий, налагаемых на фотонный пропагатор.

Рассмотрим процесс рассеяния, который может происходить через одночастичные промежуточные состояния с одним виртуальным фотоном. Амплитуда такого процесса должна иметь полюс, когда квадрат суммарного 4-импульса начальных частиц Р совпадает с квадратом массы реального фотона, т. е. ; мы видели в § 79, что это требование следует из общего условия унитарности. Полюсный член в амплитуде возникает из диаграммы вида (79,1):

(110,1)

причем с учетом радиационных поправок обе части диаграммы должны быть соединены жирной пунктирной линией (точный фотонный пропагатор). Это значит, что функция должка иметь полюс при , т. е. должно быть

(110,2)

где Z — постоянная. Для поляризационного оператора же отсюда получается согласно (103,21) условие

(110,3)

При этом коэффициент в (110,2)

Дальнейшие ограничения на функцию можно получить из анализа физического определения электрического заряда частицы. Оно состоит в том, что две классические (т. е. сколь угодно тяжелые) частицы, покоящиеся на больших расстояниях друг от друга, должны взаимодействовать по закону Кулона: (имеются в виду расстояния , — масса электрона). С другой стороны, это взаимодействие выражается диаграммой

(110,4)

где верхние и нижние линии отвечают классическим частицам. Фотонные собственно-энергетические поправки учтены на линии виртуального фотона. Всякие же другие поправки, затрагивающие линии тяжелых частиц, привели бы к обращению диаграммы в нуль. Действительно, добавление каких-либо еще внутренних линий в диаграмме (110,4) (например, соединение линий а и с или а и b фотонной линией) приводит к появлению на диаграмме линий виртуальных тяжелых частиц, которым сопоставляются соответствующие пропагаторы. Но пропагатор частицы содержит ее массу М в знаменателе и обращается в нуль при

Из вида диаграммы (110,4) ясно (ср. § 83), что множитель в ней должен представлять собой (с точностью до знака) фурье-образ потенциала взаимодействия частиц. Статичность взаимодействия означает, что частоты виртуальных фотонов а большим расстояниям отвечают малые волновые векторы к. Фурье-образ кулонова потенциала есть Наконец, поскольку функция 2) зависит только от квадрата то мы приходим к условию

(110,5)

т. е. коэффициент в (110,2) должен быть (знак в условии (110,5) очевиден: стремится к пропагатору свободных фотонов Для поляризационного оператора это значит, что должно быть

(110,6)

Помимо известного уже нам условия (110,3), отсюда следует, что должно быть также и

(110,7)

В § 103 было отмечено, что эффективной внешней линии реального фотона отвечает в диаграмме множитель (103,15), или, с учетом (103,16) и (103,20),

Мы видим теперь, что ввиду (110,5-6) поправочный член здесь обращается в нуль. Другими словами, мы приходим к важному результату: во внешних фотонных линиях вообще не надо учитывать радиационных поправок.

Таким образом, естественные физические требования приводят к установлению определенных (равных нулю) значений величин и . Между тем вычисление этих величин по диаграммам теории возмущений привело бы для них к расходящимся интегралам. Мы видим, что способ устранения этих бесконечностей состоит в приписывании расходящимся выражениям наперед заданных значений, устанавливаемых физическими требованиями. О такой процедуре говорят как о перенормировке соответствующих величин.

Способ проведения этой операции можно сформулировать и в несколько иной форме. Так, для перенормировки заряда частицы вводят нефизический «затравочный» заряд как параметр, который входит в выражение исходного оператора электромагнитного взаимодействия, фигурирующего в формальной теории возмущений. После этого условие перенормировки формулируется как требование где е — истинный, физический заряд частицы. Отсюда находим связь и с ее помощью нефизическая величина исключается из формул, определяющих наблюдаемые эффекты. Потребовав же сразу Z — 1, мы тем самым произведем перенормировку как бы «на ходу» и избавимся от необходимости введения фиктивных величин даже в промежуточных выкладках.

Перейдем к выяснению условий перенормировки электронного пропагатора. Для этого рассмотрим процесс рассеяния, который может проходить через одночастичное промежуточное состояние с одним виртуальным электроном. Амплитуда такого процесса должна иметь полюс, когда квадрат суммарного 4-импульса начальных частиц совпадает с квадратом массы реального электрона:

Полюсной член в амплитуде возникает из диаграммы вида

где, с учетом радиационных поправок, жирная линия — точный электронный пропагатор. Это значит, что функция должна иметь полюс при т. е. должна иметь предельную форму

(110,9)

где — скалярная постоянная, остается при конечной. Матричная структура полюсного члена в (110,9) (пропорциональность является следствием того же условия унитарности, из которого возникает и само требование наличия полюса. Покажем это, одновременно выяснив важный вопрос об условиях перенормировки внешних электронных линий.

Если имеет предельный вид (110,9), то обратная матрица

Массовый же оператор

(110,11)

Эффективной внешней (скажем, входящей) электронной линии отвечает в диаграмме множитель (ср. (103,15))

(110,12)

где — обычная амплитуда волновой функции электрона, удовлетворяющая уравнению Дирака . В силу требований релятивистской инвариантности как и , — биспинор) предельное значение при может отличаться от лишь постоянным скалярным множителем:

(110,13)

Этот множитель Z определенным образом связан с множителем но найти эту связь просто подстановкой (110,10-11) в (110,12) нельзя ввиду возникающей неопределенности: результат будет зависеть от порядка, в котором совершается предельный переход в различных множителях в (110,12).

Можно, однако, обойтись без выяснения вопроса о правильном способе предельного перехода, обратившись вместо этого к условию унитарности в применении к реакции, изображаемой диаграммой (110,8). Соотношение унитарности относится, вообще говоря, не к отдельным диаграммам, а к амплитудам процессов в целом. Но при полюсная диаграмма (110,8) дает основной вклад в соответствующую амплитуду так что другие диаграммы, относящиеся к той же реакции, можно не рассматривать.

В силу требований унитарности, как это было показано в § 79, одночастичное промежуточное состояние приводит к появлению в амплитуде реакции мнимой части с -функционным членом

(110,14)

где в данном случае индекс относится к состоянию с одним реальным электроном, а суммирование производится по его поляризациям (во избежание лишних усложнений считаем, как и в § 79, что произведена симметризация обеих сторон соотношения унитарности по спиральностям начальных и конечных частиц; тогда ). Амплитуда отвечает процессу, изображаемому диаграммой

и имеет вид

где — множитель с одним свободным биспинорным индексом. Аналогичным образом амплитуда имеет структуру вида

Суммирование по поляризациям электрона заменяет произведение на так что член (110,14) в амплитуде принимает вид

По этому члену в мнимой части можно восстановить весь полюсной член в амплитуде рассеяния; согласно (79,5) находим

С другой стороны, вычисление этой же амплитуды непосредственно по диаграмме (110,8) дает

Сравнение обеих формул подтверждает написанное выше предельное выражение для (первый член в (110,9)), причем

(110,15)

Покажем теперь, что после установления требуемого предельного вида электронного пропагатора уже нет необходимости в постановке каких-либо новых условий для вершинного оператора.

Рассмотрим диаграмму

описывающую рассеяние электрона во внешнем поле (в первом порядке по полю) с учетом всех радиационных поправок. В пределе собственно-энергетические поправки к линии внешнего поля исчезают (напомним, что эти поправки исчезают вообще при всяком Тогда диаграмме будет соответствовать амплитуда

(110,17)

— произведение потенциала на электронный ток перехода . Но при потенциал сводится к не зависящей от координат и времени постоянной. Такому потенциалу вообще не соответствует никакое физическое поле (частный случай калибровочной инвариантности), так что он не может вызвать никакого изменения электронного тока.

Другими словами, в рассматриваемом пределе ток перехода ШТЫ должен просто совпадать со свободным током

(110,18)

Это требование есть, по существу, тоже выражение определения физического заряда электрона. Легко видеть, что оно автоматически выполняется вне зависимости от значения Действительно, подставив из (110,10) в тождество Уорда (108,8), найдем

и равенство (110,18) удовлетворяется в силу уравнений

Мы видим, что при составлении амплитуды физического процесса «перенормировочная постоянная» Z; вообще выпадает. Мало того, воспользовавшись неопределеностью, возникающей из-за расходимостей при вычислении Г, можно просто потребовать, чтобы было

(110,19)

т. е. положить .

Удобство такого определения состоит в том, что отпадает необходимость во введении поправок во внешние электронные линии: имеем просто

В этом можно убедиться и непосредственно, заметив, что при массовый оператор (110,11)

(110,20)

и второй член в (110,12) очевидным образом обращается в нуль. Таким образом, не будут требовать «перенормировки» внешние линии всех реальных частиц — как фотонов, так и электронов.