§ 20. Уравнение Дирака в спинорном представлении

Частица со спином описывается в своей системе покоя двухкомпонентной волновой функцией — 3-спинором. По своему «четырехмерному происхождению» это может быть как непунктирный, так и пунктирный 4-спинор. В описании частицы в произвольной системе отсчета участвуют оба таких 4-спинора; обозначим их посредством

Для свободной частицы единственным оператором, входящим в волновое уравнение, может быть (как уже указывалось в § 10) лишь оператор 4-импульса . В спинорных обозначениях этому 4-вектору соответствует операторный спинор причем

Волновое уравнение представляет собой линейную дифференциальную связь между компонентами спиноров, осуществляемую с помощью оператора Требование релятивистской инвариантности фиксирует следующую систему уравнений:

где m — размерная постоянная. Вводить в эти два уравнения различные постоянные (или же изменить знак перед ) было бы бессмысленно, так как надлежащим переопределением или уравнения все равно могли бы быть приведены к прежнему виду.

Исключим из уравнений (20,2) один из двух спиноров, подставив из второго уравнения в первое:

Но согласно (18,4) , так что получаем

откуда видно, что m — масса частицы.

Обратим внимание на то, что необходимость введения массы в волновое уравнение требует одновременного рассмотрения двух спиноров с помощью лишь одного из них нельзя составить релятивистски инвариантное уравнение, которое содержало бы какой-либо размерный параметр. Тем самым волновое уравнение автоматически оказывается инвариантным относительно пространственной инверсии, если определить преобразование волновой функции как

Легко видеть, что при такой замене (и одновременной замене , очевидной из формул (20.1)) два уравнения (20,2) переходят друг в друга. Два спинора, переходящих друг в друга при инверсии, составляют четырехкомпонентную величину — биспинор.

Релятивистское волновое уравнение, изображаемое системой (20,2), называется уравнением Дирака (оно было установлено Дираком в 1928 г.). Для дальнейшего исследования и применения этого уравнения рассмотрим различные формы, в которых оно может быть представлено.

С помощью формулы (18,6) переписываем уравнения (20,2) в виде

Здесь символы обозначают двухкомпонентные величины — спиноры

(первый — с верхними, а второй — с нижними индексами), а при умножении матриц а на любую двухкомпонентную величину f здесь и ниже всегда подразумевается умножение по обычному матричному правилу

Запись f в виде вертикального столбца отвечает тому, что каждая строка в с перемножается со столбцом

Для удобства дальнейших ссылок выпишем здесь еще раз матрицы Паули

и напомним их основные свойства:

(20,9)

(см. III, § 55).

Напишем также волновое уравнение, которому удовлетворяет комплексно-сопряженная волновая функция, составленная из спиноров

(20,10)

Поскольку все операторы содержат множитель l, то . При взятии комплексно-сопряженного от обеих сторон уравнений (20,5) надо также учесть, что в силу эрмитовости матриц о

и мы получаем уравнения в виде

(20,11)

В этой форме записи условно подразумевается, что операторы действуют на функцию, стоящую слева от них. Запись в виде горизонтальных строк соответствует матричному умножению в этих уравнениях: строка перемножается со столбцами в матрицах а:

Преобразование инверсии для определяется как комплексно-сопряженное от преобразования (20,4):