§ 137. Дважды логарифмическая асимптотика амплитуды рассеяния электрона на мюоне

В качестве примера другого рода рассмотрим рассеяние электрона на отрицательном мюоне, причем ограничимся случаем рассеяния строго назад, т. е. на угол (В. Г. Горшков, В. Н. Грибов, Л. Н. Липатов, Г. В. Фролов, 1967). Этот процесс является простейшим с двух точек зрения. Во-первых, ввиду нетождественности обеих частиц отсутствуют обменные диаграммы. Во-вторых, при рассеянии назад сильно подавлено излучение мягких фотонов, в результате чего не возникает инфракрасной расходимости. Действительно, согласно (98,8) сечение испускания мягких фотонов

(137,1)

где — скорости частиц до и после столкновения. Но в ультрарелятивистском случае равенство импульсов равнозначно равенству скоростей, и с этой точностью имеем в системе центра инерции при рассеянии назад

В результате выражение (137,1) обращается в нуль.

Если рассматриваемый процесс рассеяния отвечает s-каналу реакции, то в канале он переходит в процесс превращения электрон-позитронной пары в пару В этом канале условие

означает, что совпадают направления движения Подавление тормозного излучения в этом канале имеет особенно наглядный смысл, так как направление движения заряда каждого знака вообще не меняется.

Взаимное сокращение главных членов в сечении излучения приводит к тому, что в его асимптотике не возникают дважды логарифмические поправки. Соответственно не возникает (с той же дважды логарифмической точностью) инфракрасной расходимости и при интегрировании по импульсам виртуальных фотонов в амплитуде рассеяния.

Если описывать процесс с помощью инвариантных переменных , то рассеянию назад в ультрарелятивистском случае будут отвечать значения

В первом (по а) приближении теории возмущений рассеяние электрона на мюоне описывается диаграммой

(137,3)

Соответствующая амплитуда:

(137,4)

Переход к предельному случаю (137,2) в этом выражении осуществляется заменой матричного 4-вектора «проекцией» на плоскость, нормальную плоскости (или, что то же, плоскости поскольку при ультрарелятивистском рассеянии назад Действительно, параллельными плоскости составляющими являются матрицы

(первая совпадает с , а вторая равна где — орт направ ления ). Используя уравнения Дирака для биспиноров и и находим, что и потому эти члены могут быть опущены.

В следующем приближении добавляются диаграмма

(137,5)

и диаграмма с «перекрещенными» фотонными линиями, которую удобно изобразить в виде, отличающемся от (137,5) лишь направлением одной из сплошных линий:

(137,6)

Исследование соответствующих интегралов показывает, что в обеих диаграммах возникают дважды логарифмические вклады от областей мягких виртуальных фотонов: или Эти вклады связаны с инфракрасными расходимостями интегралов и, согласно сказанному выше, в данном случае заведомо должны взаимно сокращаться. В диаграмме (137,6) имеется, однако, дважды логарифмический вклад еще и от области больших импульсов: Именно этот вклад и должен быть вычислен.

Диаграмме (137,6) отвечает интеграл

(137,7)

где уже учтено, что . Положим снова

(137,8)

(ср. (135,13)). Дважды логарифмический вклад возникает от области, определяемой неравенствами

(137,9)

где . В (137,8) 4-вектор определен так, что в данном случае (рассеяние назад) отсюда следует, что в системе центра инерции так что

В числителе интеграла (137,7) можно пренебречь те, а также всеми членами с и или и; множители и или v в числителе сокращают соответствующие полюсы в знаменателе (см. ниже), в результате чего не возникают требуемые квадраты логарифмов.

Замечая, что , и преобразуя элемент интегрирования согласно (135,16), переписываем интеграл (137,7) в виде

Числитель подынтегрального выражения преобразуется далее путем усреднения по направлению и замены (по тем же причинам, что и в (137,4)) на После простых преобразований получим

(137,10)

Наконец, заменив в числителе тождественно можно опустить второй член, который сократил бы простые полюсы и тем самым не дал бы дважды логарифмического вклада. Таким образом,

Этот интеграл по форме совпадает с (135,20), поэтому интегрирование по производится тем же способом. Однако поскольку теперь твозникает условие (вместо ). В результате находим

причем область интегрирования ограничена неравенствами

(при вычислении с логарифмической точностью сильные неравенства заменяются простыми неравенствами ). Прямое вычисление дает

В более высоких приближениях теории возмущений интересующие нас вклады получаются от аналогичных (137,6) диаграмм «лестничного» типа с большим числом «перекладин».

Поэтому полная дважды логарифмическая асимптотика амплитуды рассеяния дается бесконечной суммой

(137,14)

Для установления общего вида членов этой суммы рассмотрим еще диаграмму третьего приближения (третий член ряда L (137,14)). Соответствующий ей интеграл можно привести к виду

с областью интегрирования

Дважды логарифмическую часть этого интеграла можно выделить, наложив на переменные интегрирования еще условия

(137,16)

Тогда

где , а область интегрирования определена неравенствами

Аналогичным образом член ряда может быть представлен в виде где

с областью интегрирования

Полная амплитуда рассеяния равна

(137.19)

Для вычисления этой суммы введем теперь вспомогательные функции которые даются теми же интегралами 1137,17), но с областями интегрирования

(137,20)

(различные пределы интегрирования по вместо одинаковых в ).

Очевидно, что , где

(137,21)

Из определения функций видно, что они удовлетворяют рекуррентным соотношениям

а просуммировав эти равенства по (от 1 до ), найдем интегральное уравнение, определяющее функцию

(137,22)

Для дальнейшего будет достаточно рассмотреть функцию в области Тогда уравнение (137,22) можно записать в виде

(137,23)

Дифференцируя это равенство по имеем

а дифференцируя затем еще и по 1, находим для дифференциальное уравнение

Это уравнение должно быть решено с граничными условиями

(137,26)

непосредственно следующими из (137,23-24).

Решение можно получить с помощью преобразования Лапласа по переменной

(137,27)

где контур С в плоскости комплексного — замкнутая кривая, охватывающая точку

Подставив (137,27) в уравнение (137,25) и приравняв нулю подынтегральное выражение, получим

где — произвольная функция. Первое из граничных условий (137,26) дает теперь где — аналитическая функция, не имеющая особенностей внутри контура С. Второму же условию (137,26) можно удовлетворить, положив действительно, тогда

Собрав полученные выражения и положив , найдем

Наконец, проинтегрировав по частям и воспользовавшись известной формулой

( — функция Бесселя мнимого аргумента), получим окончательно для амплитуды рассеяния

Сечение же рассеяния (на угол соответственно равно

(137,29)

где — сечение в борновском приближении в ультрарелятивистском случае (см. задачу 6, § 81),