§ 94. Образование пар фотоном в поле ядра

Образование электрон-позитронной пары при столкновении фотона с ядром и тормозное излучение при столкновении электрона с ядром — два перекрестных канала одной и той же реакции. В § 91 были уже сформулированы правила, по которым преобразуются формулы при переходе от второго из этих случаев к первому. В данном случае, применив эти правила к формуле (93,8), получим следующее выражение для дифференциального сечения образования пары неполяризованным фотоном, усредненное по поляризациям компонент пары:

Таким же преобразованием получим из (93,9) распределение компонент пары по энергиям:

Поскольку полученные формулы основаны на борновском приближении, они справедливы при условиях .

Отметим, что симметричность формул (94,1—2) по отношению к электрону и позитрону является следствием именно борновского приближения; она исчезла бы в более высоких приближениях.

В ультрарелятивистском случае электрон и позитрон вылетают под углами к направлению падающего фотона. Угловое распределение дается формулой, аналогичной (93,13):

причем

Распределение по энергиям в этом случае:

Интегрирование этого выражения по (в пределах от до ) дает полное сечение образования пар фотоном заданной энергии

Как и для тормозного излучения, логарифмический член в сечении в ультрарелятивистском случае происходит от области значений . Этому соответствуют теперь углы, для которых

(вместо в (93,15)). Таким образом, в логарифмическом приближении направления электрона и позитрона образуют обратно пропорциональные энергиям частиц малые углы с направлением фотона и лежат почти в одной плоскости с последним, но по разные стороны от него.

Вблизи порога реакции борцовское приближение неприменимо. Вывод количественной формулы в этом случае требовал бы точного учета кулонова взаимодействия трех заряженных частиц, имеющихся в конечном состоянии (ядро и пара). Симметрия по отношению к электрону (притягивающемуся к ядру) и к позитрону (отталкивающемуся от ядра) при этом, конечно, исчезает.

Если

то борцовское приближение еще применимо. При нерелятивистских энергиях пары поэтому . В (94,1) можно положить везде после чего эта формула сводится к выражению

После интегрирования по углам

Наконец, интегрируя (в пределах от до ), получаем полное сечение

Если относительная скорость компонент рождающейся пары мала, то необходимо учесть их кулоново взаимодействие друг с другом (А. Д. Сахаров, 1948). Оно становится существенным, когда порядка (или меньше) скорости частицы в связанном состоянии электрона и позитрона (позитроний):

(94,11)

Рассмотрим процесс в системе центра инерции пары. На диаграммах, изображающих процесс в этой системе, существенны виртуальные импульсы . Другими словами, существенны расстояния между электроном и позитроном . Между тем волновая функция их относительного движения существенно меняется лишь на расстояниях т. е. больших по сравнению с . Поэтому учет взаимодействия частиц сведется к появлению в матричном элементе перехода множителя .

Соответственно дифференциальное сечение умножится на т. е. на

(см. 111(136,11)). Относительная скорость двух частиц есть скорость одной из них в системе покоя другой. Сравнив значения инварианта в этой системе и в лабораторной системе (системе покоя ядра), получим

откуда можно найти Если близки друг к другу по абсолютному значению и направлению, то для получается приближенная формула

применимая при здесь — угол между

Поправка в сечении, определяемая формулами (94,12-13), приводит к появлению аномалии в корреляции между импульсами рождаемых электрона и позитрона: узкому максимуму при