ГЛАВА VIII. ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ

§ 72. Хронологическое произведение

Вероятности различных процессов при столкновениях частиц, взаимодействие между которыми можно считать малым, вычисляются с помощью теории возмущений. В своей обычной (для нерелятивистской квантовой механики) форме аппарат этой теории обладает, однако, тем недостатком, что в нем не выявляются явным образом требования релятивистской инвариантности. Хотя при применении такого аппарата к релятивистским задачам окончательный результат и будет удовлетворять этим требованиям, но неинвариантная форма промежуточных формул существенно усложняет вычисления. Настоящая глава посвящена развитию свободной от этого недостатка последовательной релятивистской теории возмущений; она была построена Фейнманом (R. P. Feynman, 1948—1949).

Имея в виду вторично квантованное описание системы, обозначим Ф ее волновую функцию в представлении чисел заполнения различных состояний свободных частиц. Гамильтониан системы где - оператор взаимодействия. Пусть — собственные функции невозмущенного гамильтониана; каждая из них отвечает некоторым определенным значениям всех чисел заполнения. Произвольная функция Ф представляется в виде разложения . Тогда точное волновое уравнение

представится в виде системы уравнений для коэффициентов

где — не зависящие от времени матричные элементы оператора V, а — уровни энергии невозмущенной системы III, § 40).

По определению оператор V не зависит явно от времени. Величины же

можно рассматривать как матричные элементы зависящего от времени оператора

О нем говорят как об операторе в представлении взаимодействия (в отличие от исходного не зависящего от времени шредингеровского оператора ). Обозначив теперь прежней буквой Ф волновую функцию в этом новом представлении, запишем уравнения (72,2) в символическом виде

Изменение волновой функции в этом представлении связано лишь с действием возмущения, т. е. отвечает процессам, происходящим благодаря взаимодействию частиц.

Если — значения Ф в два бесконечно близких момента времени, то в силу (72,5) они связаны друг с Другом посредством

Соответственно значение Ф в произвольный момент может быть выражено через значение в некоторый начальный момент как

где знак П означает предел произведения по всем бесконечно малым интервалам между U и Если бы было обычной функцией, то этот предел сводился бы просто к

Но такое сведение основано на коммутативности множителей (взятых в различные моменты времени), подразумевающейся при переходе от произведения в (72,6) к суммированию в экспоненте. Для оператора такой коммутативности нет, и сведение к обычному интегралу невозможно.

Напишем (72,6) в символическом виде

где Т — символ хронологизации, означающий определенную («хронологическую») последовательность моментов времени в последовательных множителях произведения (72,6). В частности, положив получим

где

Смысл записи (72,7-9) формально точного решения волнового уравнения состоит в том, что такая запись позволяет легко написать ряд, представляющий собой разложение по степеням возмущения:

(72,10)

Здесь в каждом члене степень интеграла написана в виде -кратного интеграла, а символ Т означает, что в каждой области значений переменных надо располагать соответствующие операторы в хронологическом порядке справа налево в порядке возрастающих значений

Из определения (72,8) ясно, что если до столкновения система была в состоянии Ф, (некоторая совокупность свободных частиц), то амплитуда вероятности ее перехода в состояние (другая совокупность свободных частиц) есть матричный элемент Другими словами, эти элементы и составляют -матрицу.

Оператор электромагнитного взаимодействия был написан уже в § 43:

(72,11)

Подставив его в (72,9), получим

(72,12)

Существенно, что оператор (72,12) релятивистски инвариантен. Это видно из скалярности подынтегрального выражения, инвариантного характера интегрирования по и инвариантного характера операции хронологизации. Последнее обстоятельство требует, однако, разъяснения.

Как известно, последовательность двух моментов времени (знак разности ) не зависит от выбора системы отсчета, если эти моменты относятся к мировым точкам разделенным времениподобным интервалом: . В таком случае инвариантность хронологизации автоматична. Если же (пространственноподобный интервал), то в разных системах отсчета может быть как так и Но такие две точки отвечают событиям, между которыми не может существовать причинной связи. Очевидно поэтому, что не могут быть некоммутативными операторы двух физических величин, относящихся к таким точкам: некоммутативность операторов физически означает совместную неизмеримость данных величин, что предполагает наличие физической связи между обоими измерениями. Следовательно, хронологичность произведения останется инвариантной и в этом случае: хотя преобразование Лоренца может нарушить последовательность моментов времени, но ввиду коммутативности множителей их можно переставить обратно в хронологический порядок.

Легко видеть, что данное в этом параграфе определение -матрицы автоматически удовлетворяет условию унитарности. Представив 5 в виде хронологического произведения, фигурирующего в (72,6), и учитывая эрмитовость V, найдем, что выражается произведением таких же множителей (с обратным знаком в показателе) в хронологически

Поэтому при перемножении S и все множители попарно сокращаются.

Обратим внимание на то, что унитарность оператора S обеспечивается в данном случае эрмитовостью гамильтониана. Но требование унитарности имеет в действительности более общий характер, чем предпосылки, лежащие в основе излагаемой теории. Оно должно было бы выполняться и при квантовомеханическом описании, не использующем понятий о гамильтониане и волновых функциях.