§ 9. Система двух фотонов

Рассуждения, аналогичные проведенным в § 6, позволяют произвести подсчет числа возможных состояний и в более сложном случае системы двух фотонов (Л. Ландау, 1948).

Будем рассматривать фотоны в системе их центра инерции; импульсы фотонов . Волновую функцию системы двух фотонов (в импульсном представлении) можно представить в виде трехмерного тензора второго ранга составленного билинейно из компонент векторных волновых функций обоих фотонов; каждый из индексов этого тензора соответствует одному из фотонов ( — единичный вектор в направлении к). Поперечность же каждого из фотонов выражается ортогональностью тензора А вектору :

(9,1)

Взаимная перестановка фотонов означает перестановку индексов тензора вместе с одновременным изменением знака п. Поскольку фотоны подчиняются статистике Бозе, то

Тензор вообще говоря, не симметричен по своим индексам. Разделим его на симметричную и антисимметричную части: Соотношению (9,2) (а также условиям ортогональности (9,1)) должна, очевидно, удовлетворять каждая из этих частей в отдельности. Отсюда получаем

Инверсия системы координат сама по себе не меняет знака компонент тензора второго ранга, но меняет знак п. Поэтому из (9,3) видно, что волновая функция симметрична по отношению к инверсии, т. е. соответствует четным состояниям системы фотонов; волновая же функция а, отвечает нечетным состояниям.

Антисимметричный тензор второго ранга эквивалентен (дуален) некоторому аксиальному вектору а, компоненты которого выражаются через компоненты тензора согласно где — антисимметричный единичный тензор (см. II, § 6). Ортогональность тензора вектору означает, что векторы а и параллельны. Поэтому можно написать где — скаляр; согласно (9,4) должно быть , а потому

Это равенство означает, что скаляр может быть линейно построен из шаровых функций только четного порядка L (включая порядок нуль).

Мы видим, что антисимметричный тензор по своим трансформационным (по отношению к вращениям) свойствам эквивалентен одному скаляру примеч. на с. 34). Сопоставив последнему «спин» 0, найдем, что момент состояния Таким образом, тензор соответствует нечетным состояниям системы фотонов с четным моментом

Обратимся к симметричному тензору Поскольку он четен по отношению к изменению знака , ему отвечают четные состояния системы фотонов. Отсюда же следует, что все компоненты выражаются через шаровые функции четного порядка L (включая L=0). Произвольный симметричный тензор второго ранга сводится, как известно, к скаляру и к симметричному тензору с равным нулю следом ().

Скаляру приводится в соответствие «спин» 0, а потому момецт отвечающих ему состояний т. е. четен. Тензору же соответствует «спин» 2 (см. III, § 57). Складывая по правилу сложения моментов этот «спин» с четным «орбитальным моментом» L, находим, что при заданном четном возможны три состояния (с ), а при нечетном — два состояния (с ). Исключение составляет с одним состоянием с одним состоянием ().

В этих подсчетах, однако, еще не учтено условие ортогональности тензора вектору . Поэтому из полученного числа состояний надо вычесть число состояний, которым соответствует симметричный тензор второго ранга, «параллельный» вектору .

Такой тензор (обозначим его можно представить в виде

где b — некоторый вектор. Согласно (9,3) этот вектор должен удовлетворять условию Таким образом, ответственный за «лишние» состояния тензор эквивалентен нечетному вектору. Этот вектор должен, следовательно, выражаться через шаровые функции только нечетных порядков L. Заметив также, что вектору соответствует «спин» 1, найдем, что для каждого четного момента возможны два состояния (с ), а для каждого нечетного J — одно состояние особый случай представляет с одним состоянием (L = 1).

Сведя вместе полученные результаты, получим следующую таблицу, указывающую число возможных четных и нечетных состояний системы из двух фотонов (с равной нулю суммой импульсов) для различных значений полного момента

— целое положительное число, отличное от нуля). Мы видим, что при нечетных отсутствуют нечетные состояния, а значение вообще невозможно

Волновая функция системы двух фотонов А определяет корреляцию их поляризаций. Вероятность того, что два фотона одновременно имеют определенные поляризации пропорциональна

Другими словами, если задана поляризация одного фотона, то поляризация второго пропорциональна

В нечетных состояниях системы А совпадает с антисимметричным тензором При этом

т. е. поляризации обоих фотонов взаимно ортогональны.

В случае линейной поляризации это означает перпендикулярность их направлений, а в случае круговых поляризаций — противоположность направлений вращения.

Четное состояние с описывается симметричным тензором, сводящимся к скаляру

Поэтому из (9,6) получим . В случае линейной поляризации это означает параллельность их направлений, а в случае круговых поляризаций — снова противоположность направлений вращения. Последнее обстоятельство очевидно: при во всяком случае должна быть равна нулю сумма проекций моментов фотонов на одно и то же направление к (проекции же на противоположные направления , т. е. спиральности, при этом одинаковы).