§ 88. Двухфотонная аннигиляция электронной пары

Аннигиляции электрона и позитрона (-импульсы ) с образованием двух фотонов отвечают две диаграммы:

Они отличаются от диаграмм рассеяния фотона на электроне заменой

Оба процесса — два перекрестных канала одной и той же (обобщенной) реакции. После замены (88,2) кинематические инварианты (86,2) приобретают следующий смысл:

Если рассеяние фотона было -каналом, то аннигиляция есть -канал.

Квадрат для аннигиляции (усредненный по поляризациям электронов и просуммированный по поляризациям фотонов), будучи выражен через инварианты совпадает с аналогичной величиной для рассеяния с изменением лишь смысла иввариаатов).

В формуле же для сечения (64,23), в множителях при надо заменить: иричем для величины имеем теперь согласно (64,15а)

Произведя соответствующие изменения в формуле (86,6), получим в результате сечение аннигиляции

Физическая область йнкигиляционного канала есть область II на рис. 7 (см. с. 300). При заданном t (заданной энергии в системе центра инерции) интервал изменения s определяется уравнением границы Вместе соотношением это дает

Интегрирование выражения (88,4) элементарно; результат надо еще разделить на 2, учитывая тождественность двух конечных частиц (фотонов). Таким образом, получим

где (Р. А. М. Dirac, 1930).

В перелятивистском пределе находим отсюда

В ультрарелятивистском же случае

В лабораторной системе, в которой одна из частиц (скажем, электрон) до столкновения покоилась, инвариант есть

Формулы (88,6-8) дают зависимость полного сечения от энергии налетающего позитрона:

В частности, в нерелятивистском пределе

(88,11)

где — скорость позитрона.

В системе центра инерции электрон, позитрон и оба фотона имеют одинаковые энергии Инварианты:

(88,12)

где — угол между импульсами электрона и одного из фотонов. Подставив (88,12) в (88,4), получим угловое распределение аннигиляционных фотонов

В ультрарелятивистском случае оно имеет симметричные максимумы в направлениях Вблизи

Полное сечение получается из (88,6):

(88,15)

где — скорость сталкивающихся частиц.

Мы не будем рассматривать здесь в деталях поляризационные эффекты при аннигиляции. Остановимся лишь на некоторых качественных особенностях этих эффектов в предельных случаях больших и малых скоростей v сталкивающихся частиц. Будем рассматривать процесс в системе центра инерции.

В пределе отличный от нуля вклад в сечение даст лишь состояние с орбитальным моментом относительного движения Но -состояние системы «электрон + позитрон» имеет отрицательную четность (см. задачу к § 27). В нечетных же состояниях системы двух фотонов их поляризации взаимно ортогональны (см. § 9).

Таким же свойством должны, следовательно, обладать в нерелятивистском случае и аннигиляционные фотоны.

Если электрон и позитрон поляризованы, то в том же нерелятивистском случае можно утверждать, что их аннигиляция возможна лишь при антипараллельных спинах. Действительно, поскольку аннигиляция происходит в -состоянии, полный момент системы совпадает с полным спином частиц, равным 1 при параллельных спинах. Система же двух фотонов вообще не имеет состояний с полным моментом 1 (см. § 9).

В ультрарелятивистском пределе аннигиляция продольно поляризованных (спиральных) электрона и позитрона возможна лишь при разных знаках их спиральностей 1). В этом пределе спиральные частицы ведут себя как нейтрино (см. конец § 80), а потому аннигилирующие электрон и позитрон должны быть аналогичны нейтрино и антинейтрино, откуда и следует сделанное утверждение.

Аннигиляция же электрона и позитрона с одинаковыми спиральностями возникает в ультрарелятивистском случае лишь при учете членов, содержащих т. По порядку величины амплитуда этого процесса отличается множителем от амплитуды аннигиляции пары с параллельными спинами; сечение же отличается соответственно множителем

Задача

Найти сечение образования электронной пары при столкновении двух фотонов (G. Breit, J. A. Wheeler, 1934).

Решение. Этот процесс обратен двухфотонной аннигиляции электронной пары. Квадраты амплитуды обоих процессов одинаковы, а их связи с сечением различаются лишь тем, что теперь Поэтому

В системе центра инерции )

где V — скорость компонент пары. При интегрировании с целью нахождения полного сечения надо учесть, что ввиду нетождественности двух конечных частиц (электрон и позитрон) не надо делить результат на 2, как в случае аннигиляции. Поэтому (в системе центра инерции)

В произвольной системе отсчета К, в которой два фотона и летят навстречу друг другу, имеем (из инвариантности )

где — энергия фотонов в системе центра инерции.

Поскольку в этой системе энергии фотонов и компонент пары совпадают, то Поэтому для перехода к системе К надо положить в (1)