ГЛАВА XIII. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ

§ 132. Асимптотическое поведение фотонного пропагатора при больших импульсах

В § 113 был вычислен первый (по а) член разложения поляризационного оператора и было найдено, что при с логарифмической точностью он имеет вид

Там же было указано, что по смыслу вывода этой формулы (как поправки первого приближения к пропагатору ) предполагается выполненным условие

(132.2)

чем ограничивается применимость формулы со стороны больших Покажем теперь, что в действительности выражение (132,1) остается справедливым и при гораздо более слабом условии

(132.3)

Ход доказательства состоит в следующем. Прежде всего, замечаем, что хотя при условии (132,3) вклад в может возникать, в принципе, от членов всех порядков (по а) ряда теории возмущений, но в каждом порядке надо учитывать только члены содержащие большой логарифм в той же степени, что и а; члены с более низкими степенями логарифма заведомо малы в силу неравенства .

Далее, исследование ряда теории возмущений для можно свести к исследованию рядов для и с помощью уравнения Дайсона

(132,4)

(см. (107,4)).

Поскольку функция калибровочно-инвариантна, при ее вычислении можно выбрать любую калибровку для величин . Наиболее удобна для этой цели калибровка Ландау, в которой пропагатор свободных фотонов имеет вид (76,11):

Оказывается, что в такой калибровке ряды теории возмущений для и вообще не содержат членов с нужными степенями логарифмов. Поэтому в (132,4) достаточно подставить для и их нулевые приближения: Тогда выражение (132,4) сводится к интегралу

(132,6)

Это — интеграл Фейнмана, отвечающий диаграмме (113,1) первого (по а) приближения, который и приводит (после соответствующей перепормировки) к формуле (132,1).

Приступая к доказательству сделанных утверждений, проследим прежде всего за происхождением логарифма в интеграле (132,6). Легко видеть, что логарифмический член возникает от области интегрирования

(132,7)

Действительно, формально разлагая G по степеням имеем

При подстановке в (132,6) первый член, не зависящий от , выпадает в результате регуляризации (в соответствии с условием при ). Второй член обращается в нуль при интегрировании по направлениям . Третий же интеграл логарифмически расходится по взяв его в пределах от (нижний предел области ) до некоторого вспомогательного «параметра обрезания» получим

Для регуляризации следует вычесть из его значение при

Но поскольку логарифмическая точность предполагает условие при вычислении с этой точностью регуляризация осуществляется вычитанием значения при в результате чего в аргументе логарифма заменяется на и мы приходим к (132,1).

Так как интересующие нас поправки в имеют логарифмический характер, то с их учетом будут отличаться от медленно меняющимися логарифмическими множителями. Поэтому и в точном интеграле (132,4) будет существенна та же область (132,7), что и в приближенном интеграле (132,6). Тем не менее положить просто нельзя: ввиду квадратичной расходимости интеграла его регуляризация требует рассмотрения также и двух следующих членов разложения по степеням k. Мы, однако, ограничимся здесь обсуждением поправок к , достаточно ясно демонстрирующим роль выбора калибровки и различие в характере интегралов, возникающих от диаграмм разных типов. Отметим также, что в аналогичном исследовании для нет необходимости, поскольку поправки в Г и S связаны друг с другом тождеством Уорда (108,8).

Первой (по а) поправке к отвечает диаграмма

и соответственно интеграл

В обычной калибровке имеем

и в интеграле существенна область в которой он логарифмически расходится. Вычислив интеграл

и регуляризовав логарифм, получим

В калибровке же Ландау вместо (132,10) получим интеграл

Произведя усреднение по направлениям , и приведение матриц , найдем, что этот интеграл обращается в нуль, так что логарифмический член в выпадает.

В поправках второго (по а) порядка рассмотрим диаграмму

Соответствующий интеграл:

При обычной калибровке -функций этот интеграл содержит член с квадратом логарифма, происходящий от области интегрирования

(132,11)

Действительно, после пренебрежения в аргументе функции интегрирование по становится таким же, как в (132,9), и дает последующее же интегрирование по снова имеет логарифмический характер и приводит к квадрату При выборе же для -функций калибровки Ландау при обоих интегрированиях логарифмические члены выпадают.

Такая же ситуация имеет место для всех других диаграмм, входящих в скелетную диаграмму

Диаграммы же других типов, с пересекающимися фотонными линиями, например, входящие в скелетную диаграмму

(ср. (106,11)), вообще не содержат членов с нужной степенью логарифма ни в какой калибровке (в них нельзя выделить такую область значений переменных, в которой интеграл сводился бы к нескольким последовательным логарифмическим интегрированиям).

Эти рассуждения (и аналогичные для следующих членов разложения Г по степеням k) подтверждают, что в калибровке Ландау не возникает поправок и Г с нужными степенями логарифма, так что выражение (132,1) действительно справедливо и при условии (132,3).

Функция соответствующая поляризационному оператору (132,1), имеет вид

(132,14)

В силу условия (132,3) разлагать это выражение по степеням а нет необходимости.