§ 87. Рассеяние фотона электроном. Поляризационные эффекты

Вернемся к исходным формулам предыдущего параграфа и покажем, каким образом должны производиться вычисления с учетом поляризации начальных и конечных фотонов и электронов.

Матрица плотности фотона выражается согласно (8,17) с помощью пары единичных 4-векторов удовлетворяющих условиям (8,16). В данном случае можно выбрать эти векторы единым образом для обоих фотонов.

Это - введенные в § 70 4-векторы

где

Величины в (86,5) даются формулой (86,4). Их можно рассматривать как компоненты 4-тензора (в том смысле, что они образуют 4-тензор после образования величин как говорят, «в обкладках»). Все компоненты 4-тензора можно исчерпать, проецируя его на четыре взаимно ортогональных 4-вектора, например на определенные выше Р, N, q, К. Поскольку тензоры содержат только компоненты по Р и М, фактически нам нужны будут компоненты Q тоже лишь по этим 4-векторам. Другими словами, достаточно искать в лишь члены вида

остальные члены при подстановке в (86,5) все равно выпали бы. Величины являются скалярами — в том же смысле, как и есть 4-тензор; они содержат поэтому матрицы у лишь в «инвариантных» комбинациях: и т. п. В том же смысле — псевдоскаляры (N — псевдовектор!) и должны содержать матрицу

Непосредственным проецированием тензора находим

и т. д. Для вычисления удобно сначала выразить через взаимно ортогональные 4-векторы Р, N, q, К:

Дальнейшее вычисление сводится к чисто алгебраическим преобразованиям с помощью приведенных в § 22 формул.

Кроме того, можно сделать в замены, которые не отразятся на результате при дальнейшем образовании произведения Например, поскольку

то можно заменить в слагаемые

Опустив детали вычислений, приведем результат:

где

Для дальнейших вычислений удобно применить к тот же формальный прием, который был описан в § 8 для матрицы плотности фотона: четыре компоненты тензора (87,3) по направлениям объединим в двухрядную матрицу Q, которую затем разложим по матрицам Паули. Аналогично формуле (8,18) получим

Что касается фигурирующего в (86,5) тензора то используя (87,3) и (87,5), легко убедиться (с помощью правил (65,2а)), что его компоненты получаются из компонент заменой величин на где

и одновременной перестановкой индексов . В матричном виде это значит, что

Уточним теперь смысл 4-векторов в их отношении к поляризации фотонов. Для каждого из фотонов независимые направления поляризации будут определяться поперечными (по отношению к импульсу фотона к) составляющими 3-векторов Легко видеть, что как в системе центра инерции, так и в лабораторной системе (системе покоя начального электрона) вектор Р лежит в плоскости к, к, а вектор N перпендикулярен этой плоскости. Поэтому направление имеет смысл поляризации перпендикулярно плоскости рассеяния, а направление — поляризации в плоскости рассеяния. Надо также учесть, что параметры Стокса определяются по отношению к осям образующим правовинтовую систему (с осью z вдоль направления к). Легко видеть, что для начального фотона такую систему составляют векторы к, а для конечного фотона векторы - составляющие Р, перпендикулярные соответственно ). Изменение знака в матрице плотности фотона (8.17) эквивалентно изменению знака Поэтому матрицы плотности начального и конечного фотонов, отнесенные к 4-ортам будут

Теперь тензорный след

вычисляется как след матричного произведения матриц (87,6-9) с помощью (33,5).

В результате получается

(87,10)

Рассеяние на неполяризованных электронах

Вычислим до конца сечение рассеяния поляризованных фотонов неполяризованным электроном, просуммированное по поляризациям конечного электрона.

Для этого надо положить в (87,10)

и удвоить результат, который должен быть подставлен вместо в формулу для сечения (64,22)

( — азимут в системе центра инерции или в лабораторной системе). Ряд членов в (87,10) обращается тождественно в нуль. Вычисление остальных членов приводит к следующему окончательному результату (в обозначениях (86,15)):

где — сечение рассеяния неполяризованных фотонов, даваемое формулой (86,9); множитель связан с тем, что в (87,11) нет суммирования по поляризациям конечного фотона.

В лабораторной системе формула (87,11) принимает вид

(87,12)

где

(87,13)

(U. Fano, 1949). Заметим, что хотя выражение (87,12) не содержит явной зависимости от азимута плоскости рассеяния но имеется неявная зависимость, поскольку параметры определяются относительно осей связанных с плоскостью рассеяния. Напомним, что ось для обоих фотонов одинакова и перпендикулярна плоскости рассеяния:

а оси у лежат в плоскости рассеяния:

Взяв сумму сечений, различающихся знаком (т. е. положив и удвоив результат), мы получим полное (просуммированное по поляризациям конечного фотона) сечение рассеяния поляризованного фотона на неполяризованном электроне. Обозначив его имеем

(87,14)

где

(87,15)

Мы видим, что сечение рассеяния фотонов, поляризованных перпендикулярно плоскости рассеяния больше, чем для фотонов, поляризованных в плоскости рассеяния От циркулярной же поляризации сечение не зависит. Оно не зависит также и от параметра Поэтому сечение рассеяния совпадает с сечением для неполяризованных фотонов, если отсутствует линейная поляризация относительно осей или или даже если имеется поляризация относительно направлений, составляющих 45° с этими осями.

Аналогичными свойствами обладает сечение рассеяния неполяризованных фотонов с детектированием поляризованного фотона. Это сечение (обозначим его ) получится из формулы (87,12), если положить в ней :

(87,16)

Из формулы (87,12) можно найти также поляризацию вторичного фотона как такового; параметры этой поляризации обозначим через в отличие от детектируемой поляризации . Согласно изложенным в § 65 правилам величины равны отношениям коэффициентов при h к члену, не содержащему

(87,17)

В частности, при рассеянии неполяризованного фотона

(87,18)

При этом т. е. вторичный фотон поляризуется перпендикулярно плоскости рассеяния. Циркулярная же поляризация вторичного фотона возникает, лишь если первичный фотон циркулярно поляризован: только при .

Рассмотрим случай, когда падающий фотон полностью поляризован линейно и найдем сечение рассеяния, в котором детектируется тоже линейная поляризация вторичного фотона.

Выразив параметры через компоненты векторов поляризации фотонов , получим следующее выражение для сечения рассеяния:

где — угол между направлениями поляризации падающего и рассеянного фотонов.

Согласно этой формуле сечение ведет себя существенно различным образом в случаях, когда поляризации взаимно перпендикулярны и когда они лежат в одной плоскости. Отличая эти два случая индексами имеем в нерелятивистском пределе ()

(87,20)

в согласии с классическими формулами. В обратном, ультрарелятивистском случае имеем со Здесь надо различать области больших и малых углов ( велико или мало):

(87,21)

Мы видим, что в области очень малых углов сечение рассеяния совпадает с классическим. Равенство же при не слишком малых углах означает, что в этой области в ультрарелятивистском случае рассеянное излучение не поляризовано; подчеркнем, однако, что это заключение относится именно к линейно поляризованному падающему фотону: из (87,17) видно, что для циркулярно поляризованного фотона в ультрарелятивистском случае

Рассеяние на поляризованных электронах

Для поляризованных электронов вычисление следов в формуле (87,10) становится очень громоздким, хотя и не представляет принципиальных затруднений.

Мы приведем здесь некоторые окончательные результаты такого расчета.

В общем случае сечение зависит как от поляризационных параметров начального и конечного фотонов § и §, так и от поляризаций начального и конечного электронов, характеризующихся векторами и зависимость сечения от каждого из этих параметров линейна. Сечение имеет вид

(87,22)

Здесь сечение (87,12). Выписаны все члены, содержащие произведения двух поляризационных параметров. Опущены члены, содержащие произведения трех или четырех параметров; эти члены несущественны, если нас интересуют корреляции между поляризацйями лишь двух частиц: они выпадают, когда поляризационные параметры двух других частиц полагаются равными нулю. Приведем значения некоторых из коэффициентов в лабораторной системе отсчета:

(87,23)

В сечении (87,22) отсутствует член вида это значит, что поляризация электрона не влияет на полное (просуммированное по ) сечение рассеяния поляризованных фотонов. Отсутствует также член вида это значит, что при рассеянии неполяризованных фотонов электрон отдачи не поляризуется.

Мы видим также, что в члены, билинейные по поляризациям электрона и фотона, входят только параметры отвечающие круговой поляризации фотона. Векторы же поляризации электронов входят в виде скалярных произведений содержащих лишь проекции этих векторов на плоскость рассеяния.

Поэтому, например, сечение рассеяния поляризованного фотона поляризованным электроном

отличается от только при наличии у фотона круговой поляризации, а у электронов — отличной от нуля проекции среднего спина на плоскость рассеяния. По той же причине электрон отдачи поляризуется только в случае, если фотон обладает круговой поляризацией; вектор же возникающей поляризации электрона лежит при этом в плоскости рассеяния:

(87,25)

Соотношения симметрии

В заключение укажем, что качественные свойства поляризационных эффектов при рассеянии фотонов на электронах следуют уже из общих требований симметрии.

Параметр циркулярной поляризации — псевдоскаляр (см. § 8). Поэтому в силу требования Р-инвариантности члены вида со (или со ) в сечении рассеяния могли бы возникнуть лишь как произведение на какой-либо псевдоскаляр, составленный из имеющихся в нашем распоряжении векторов . Но из двух полярных векторов нельзя составить псевдоскаляр. Отсюда и следует, что указанных членов в сечении не может быть.

Параметры линейной поляризации и связаны с компонентами двумерного (в плоскости, перпендикулярной к) симметричного тензора

В данном случае одна из осей поляризации выбрана вдоль вектора а другая лежит в плоскости к, к (вдоль вектора или для одного или другого фотона). Члены могли бы возникнуть в сечении лишь как произведения (или, что то же, ) и т. п. Но поскольку V — аксиальный, к — полярный вектор, а — истинный тензор, то такие произведения не инвариантны по отношению к инверсии. Поэтому членов (или ) в сечении тоже не может быть.

Члены же возникают как произведения и т. п. и соображениями симметрии не запрещаются.

Члены в сечении, пропорциональные электронной поляризации , не запрещены по четности: такие члены могли бы быть образованы как произведения двух аксиальных векторов: . Они, однако, должны отсутствовать в рассмотренном нами первом не исчезающем приближении теории возмущений как следствие эрмитовости матрицы рассеяния в этом приближении (см. § 71).

В силу этой эрмитовости квадрат амплитуды рассеяния (а с ним и сечение) не меняется при перестановке начального и конечного состояний. В то же время сечение должно быть инвариантно по отношению к обращению времени — перестановке начального и конечного состояний вместе с одновременным изменением знака векторов импульса и момента всех частиц (параметры же Стокса при этом не меняются — см. § 8). Комбинируя оба эти требования, заключаем, что в рассматриваемом приближении сечение не должно меняться при одновременном изменении знака всех импульсов и моментов без перестановки начального и конечного состояний, т. е. при преобразовании

(87,26)

и неизменных параметрах

Преобразование (87,26) меняет знак произведения и потому такие члены не могут фигурировать в сечении. Подчеркнем, однако, что этот запрет не является следствием строгих требований симметрии и может нарушаться в следующих приближениях теории возмущений.

Заметим, что симметрия по четности запрещает члены вида в двойной корреляции между поляризациями фотонов друг с другом и не накладывает никаких ограничений на вид корреляции фотонов с электронами. Однако все члены вида запрещены в первом приближении требованием инвариантности относительно преобразования (87,26). Так, члены вида можно было бы образовать (с точки зрения соблюдения четности) как скаляры, например и эти комбинации, однако, меняют знак при преобразовании (87,26).

Разрешенные корреляционные члены вида могут быть образованы как произведения типа Векторы поляризации электронов входят в них лишь в виде проекций на плоскость рассеяния.

Наконец, ряд соотношений между коэффициентами в разрешенных членах возникает из требований кросс-универсальности. Каналы реакции, различающиеся перестановкой начального и конечного фотонов, отвечают одному процессу — рассеянию фотона на электроне.

Поэтому квадрат модуля амплитуды, а с ним и сечение рассеяния должны быть инвариантны по отношению к преобразованию, выражающему переход от одного из этих каналов к другому:

при неизменных импульсах и поляризациях электронов. В трехмерном виде это преобразование означает замены:

Изменение знака параметра очевидно из выражения в котором вектор при замене меняет знак, а вектор при замене к не меняется. Преобразование (87,27), не затрагивая импульсов электронов, оставляет лабораторную систему лабораторной. Поэтому сечение (87,22) не должно менять своего вида при этом преобразовании; формулы (87,12), (87,22-23) действительно удовлетворяют этому условию.