ГЛАВА IV. ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ

§ 32. Уравнение Дирака для электрона во внешнем поле

Волновые уравнения свободных частиц по существу выражают собой лишь те свойства, которые связаны с общими требованиями пространственно-временной симметрии. Происходящие же с частицами физические процессы зависят от свойств их взаимодействий.

Описание электромагнитных взаимодействий частиц в релятивистской квантовой теории оказывается возможным путем обобщения способа, применяемого этой цели в классической и нерелятивистской квантовой теориях.

Этот метод, однако, применим для описания электромагнитных взаимодействий лишь частиц, не способных к сильным взаимодействиям. Сюда относятся электроны (и позитроны) и, таким образом, для существующей теории оказывается доступной вся огромная область квантовой электродинамики электронов. Не способны к сильным взаимодействиям также и нестабильные частицы — мюоны; они описываются той же квантовой электродинамикой в области явлений, происходящих за времена, малые по сравнению с продолжительностью их жизни, (связанной со слабыми взаимодействиями).

В этой главе мы рассмотрим круг задач квантовой электродинамики, ограниченный рамками теории одной частицы. Это — задачи, в которых число частиц не меняется, а взаимодействие может быть, введено при помощи понятия внешнего электромагнитного поля. Помимо условий, позволяющих рассматривать внешнее поле как заданное, пределы применимости такой теории ограничены также условиями, связанными с так называемыми радиационными поправками.

Волновое уравнение электрона в заданном внешнем поле можно получить так же, как это делается в нерелятивистской теории (см. III, § 111). Пусть — 4-потенциал внешнего электромагнитного поля (А — векторный, Ф — скалярный потенциалы).

Мы получим искомое уравнение, заменив в уравнении Дирака оператор -импульса разностью где — заряд частицы:

Соответствующий этому уравнению гамильтониан получается путем такой же замены из (21,13):

Инвариантность уравнения Дирака при калибровочном преобразовании потенциалов электромагнитного поля выражается в том, что его вид остается неизменным, если одновременно с преобразованием ( где — произвольная функция) преобразовать волновую функцию согласно

(ср. аналогичное преобразование для уравнения Шредингера III, § 111).

Плотность тока, выраженная через волновую функцию, дается той же формулой (21,11) , что и в отсутствие внешнего поля. Легко видеть, что при повторении с уравнением (32,1) (и написанным ниже уравнением (32,4)) тех же выкладок, которые были произведены при выводе (21,11), внешнее поле выпадает, и уравнение непрерывности оказывается справедливым для прежнего выражения тока.

Произведем над уравнением (32,1) операцию зарядового сопряжения. Для этого пишем уравнение

которое получается комплексным сопряжением из (32,1) так же, как было получено в свое время уравнение (21,9) (при этом надо помнить, что 4-вектор А веществен). Переписав это уравнение в виде

умножив его слева на матрицу и воспользовавшись соотношениями (26,3), найдем

Таким образом, зарядово-сопряженная волновая функция удовлетворяет уравнению, отличающемуся от исходного изменением знака заряда.

С другой стороны, операция зарядового сопряжения означает переход от частиц к античастицам. Мы видим, что если частицы обладают электрическим зарядом, то знаки заряда электрона и позитрона автоматически оказываются противоположными.

Уравнение первого порядка (32,1) может быть преобразовано в уравнение второго порядка путем применения к (32,1) оператора

Произведение 77 заменяем на

где антисимметричный «матричный 4-тензор» (28,2). При умножении на можно произвести антисимметризацию, т. е. заменить

( — тензор электромагнитного поля). В результате получим уравнение второго порядка в виде

Произведение можно записать в трехмерном виде, выразив его через компоненты

Тогда

или, в обычных единицах,

(32,7а)

Появление в этих уравнениях членов, содержащих поля Е и Н, связано с наличием у частицы спина; мы вернемся к их обсуждению в следующем параграфе.

Среди решений уравнения второго порядка имеются, конечно, также и «лишние», не удовлетворяющие исходному уравнению первого порядка (32,1) (они представляют собой решения уравнения (32,1) с измененным знаком перед ).

Отбор нужных решений в конкретных случаях обычно очевиден и не представляет труда. Регулярный метод отбора состоит в том, что если есть произвольное решение уравнения второго порядка, то решение правильного уравнения первого порядка есть

Действительно, умножая это равенство на мы видим, что правая часть обращается в нуль, если удовлетворяет уравнению (32,6).

Следует подчеркнуть, что способ введения внешнего поля в релятивистское волновое уравнение путем замены Р на не самоочевиден, В его проведении мы по существу опирались на дополнительный принцип: указанная замена должна производиться в уравнениях первого порядка. Именно в результате этого в уравнении (32,6) появились дополнительные члены, которые не возникли бы, если бы замена была произведена непосредственно в уравнении второго порядка.

Среди стационарных решений уравнения Дирака во внешнем - поле могут иметься состояния как непрерывного, так и дискретного спектра. Как и в нерелятивистской теории, состояния непрерывного спектра соответствуют инфинитному движению, при котором частица может находиться на бесконечности, где ее можно рассматривать как свободную. Поскольку собственные значения гамильтониана свободной частицы равны ясно, что непрерывный спектр собственных значений энергии лежит при и при . Если же то частица не может находиться на бесконечности, так что движение финитно и состояние принадлежит дискретному спектру.

Как и для свободных частиц, волновые функции с «положительной частотой» и с «отрицательной частотой» определенным образом входят в схему вторичного квантования. Для частиц во внешнем поле эта схема естественно обобщается путем замены плоских волн в формулах (25,1) соответственно нормированными собственными функциями уравнения Дирака и относящимися к положительным и отрицательным частотам:

При этом надо иметь в виду, что по мере углубления потенциальной ямы уровни энергии могут перейти границу , т. е. из положительных сделаться отрицательными (или, для потенциала другого знака, из отрицательных — положительными).

Тем не менее из соображений непрерывности надо продолжать считать эти уровни электронными (а не позитронными). Другими словами, к электронным следует относить все состояния, которые при бесконечно медленном выключении поля примыкают к поло-; жительной границе непрерывного спектра

Хотя уравнение Дирака для электрона во внешнем поле и дает возможность, как уже было сказано, решать широкий круг задач квантовой электродинамики, необходимо в то же время подчеркнуть, что применимость понятия внешнего поля в рамках одночастичной задачи в релятивистской теории все же ограничена. Эта ограниченность связана с самопроизвольным рождением электрон-позитронных пар, возникающим в достаточно сильных полях (см. ниже, § 35, 36).

Мы не будем рассматривать в этой книге допрос о введении внешнего поля в волновые уравнения частиц с отличным от спином, поскольку он не имеет прямого физического смысла — реальные частицы с такими спинами являются адронами и их электромагнитные взаимодействия не могут быть описаны волновыми уравнениями. В этой связи следует отметить, что эти уравнения могут приводить и к физически противоречивым результатам. Так, волновое уравнение для частиц со спином О имеет комплексные (с мнимыми частями обоих знаков) уровни энергии в поле достаточно глубокой потенциальной ямы. Волновое уравнение для частиц со спином приводит к нарушению причинности, проявляющемуся в появлении решений, распространяющихся со сверхсветовой скоростью.

Задача

Определить уровни энергии электрона в постоянном магнитном поле.

Решение. Векторный потенциал: (поле Н направлено по оси ). Сохраняются (наряду с энергией) компоненты обобщенного импульса.

Воспользуемся уравнением второго порядка для вспомогательной функции (см. (32,8)) и примем, что есть собственная функция оператора (с собственным значением ), а также операторов Уравнение для имеет вид

Это уравнение по форме совпадает с уравнением Шредингера для линейного осциллятора. Собственные значения определяются формулой

(ср. III, § 112). Отметим, что волновая функция которую следует определить из по формуле (32,8), не является собственной функцией оператора — в соответствии с тем, что для движущейся частицы спин не является сохраняющейся величиной.