§ 134. Асимптотическое поведение амплитуд рассеяния при высоких энергиях

Рассмотрим вопрос об асимптотическом (при высоких энергиях) поведении амплитуд и сечений двухчастичных процессов рассеяния Для основных электродинамических процессов в первом (по а) неисчезающем приближении ответ на этот вопрос может быть найден исходя из полученных в предыдущих главах конкретных формул, справедливых при любых энергиях. Здесь, однако, мы рассмотрим этот вопрос с более общей точки зрения, которая позволит находить такие асимптотики прямым способом.

Как и в § 66, введем инвариантные переменные

(причем обозначения соответствуют реакциям в -канале, которые мы и будем рассматривать. В ультрарелятивистском случае, когда энергии много больше масс частиц, в системе центра инерции энергии обеих частиц приближенно одинаковы. Обозначив посредством сумму энергий сталкивающихся частиц, получим в этой системе ), и тогда

(134,2)

где — угол между

Рассмотрим сначала асимптотику сечения реакции при некотором фиксированном значении угла рассеяния 0. Тогда все три переменные s, t, и пропорциональны друг другу и устремляются к бесконечности вместе. В ультрарелятивистском случае массы частиц не могут войти в ответ, и единственной величиной размерности длины является Поэтому уже из соображений размерности следует, что дифференциальное сечение двухчастичных реакций уменьшается с ростом энергии по асимптотическому закону

(134,3)

Если относить сечение не к элементу телесного угла а к дифференциалу то (поскольку )

(134,4)

Сечение выражается через амплитуду рассеяния (в ультрарелятивистском случае) как — см. (64,22-23). Поэтому закон (134,3) означает, что в асимптотическом пределе амплитуда рассеяния не зависит от

(134,5)

Как ясно из характера вывода, эти результаты относятся не только к первому неисчезающему, но и к высшим (т. е. с учетом радиационных поправок) приближениям теории возмущений если только не обращать внимания на логарифмические (вида ) множители; зависимость от безразмерных логарифмов, разумеется, не может быть выяснена из соображений размерности

Иная ситуация возникает, если увеличивать s при фиксированном t, т. е. при фиксированном квадрате передаваемого импульса. Другими словами, рассматривается рассеяние на малые, убывающие с ростом энергии углы:

(134,6)

В таком случае соображения размерности позволяют утверждать лишь, что суммарная степень равна 2 (а в амплитуде ). Поэтому для нахождения наименее быстро убывающей с ростом s части ссчеиия надо выделить множитель, зависящий от в наибольшей степени. Но такие множители возникают, лишь если фейнмановскую диаграмму можно разделить между концами 1, 3 и 2, 4 на две части путем пересечения линий виртуальных частиц. Суммарный 4-импульс таких линий равен от чего и возникает зависящий от множитель. Таким образом, асимптотика диаграммы в области (134,6) зависит от характера возможных пересечений диаграммы в канале.

Аналогичным образом асимптотика в области

(134,7)

отвечающая рассеянию на углы, близкие к я, определяется характером возможных пересечений диаграммы в -канале (т. е. между концами 1, 4 и 2, 3).

Простейший пример — рассеяние электрона на электроне, описывающееся диаграммами (73,13) и (73,14). Из них рассечение в канале по линии виртуального фотона допускает первая; она и определит асимптотическое поведение амплитуды рассеяния в области (134,6). Линии виртуального фотона отвечает -функция, пропорциональная Поэтому асимптотики амплитуды и дифференциального сечения рассеяния:

(134,8)

Асимптотика же в пределе (134,7) (вблизи направления назад) определяется «обменной» диаграммой (73,14); в этом пределе

В случае взаимного рассеяния различных частиц (электрон и мюон) обменная диаграмма отсутствует; поэтому для него сечение рассеяния на углы убывает по закону (134,3-4)1).

Покажем, что эти результаты для асимптотики рассеяния электрона на электроне не меняются и при учете радиационных поправок. Для этого рассмотрим поправки различного рода к диаграмме (73,13).

Мы уже видели, что диаграммы, представляющие собой поправки к внутренней -функции (см. (113,11)) или к вершинным частям (см. (117,1)), приводят лишь к логарифмическим поправкам в амплитуде; они не меняют степенной зависимости (134,8). Покажем, что то же самое относится к диаграмме, допускающей рассечение по двум (вместо одной) внутренним фотонным линиям:

(134,9)

Соответствующая этой диаграмме амплитуда рассеяния отличается от амплитуды, отвечающей диаграмме (73,13), заменой множителя на

с последующим интегрированием по . Существенная область интегрирования — та, которая приводит в результате к наименьшей степени 1/s. Для этого во всяком случае q должно быть мало по сравнению с Отбросив малые в этом смысле члены (а также члены ), перепишем это выражение как

(134,10)

Знаменатель не будет содержать s, если — по направлению будут а компоненты могут быть тогда область интегрирования Числитель же имеет порядок величины

Таким образом, замена одной внутренней фотонной линии в диаграмме двумя не меняет ее зависимости от s (при заданном ). Другими словами, вклад диаграммы (134,9) в амплитуду рассеяния следует тому же асимптотическому закону (134,8), что и вклад основной диаграммы. Положение не изменится при добавлении в диаграмме еще и других параллельных внутренних фотонных линий, а также при введении поправок к внутренним электронным линиям.

Этот результат имеет общий характер: всякой диаграмме, которая может быть разрезана в канале или в -канале на две части путем пересечения любого числа внутренних фотонных линий, отвечает вклад в амплитуду с асимптотикой соответственно при или при (В. Г. Горшков, В. Н. Грибов, Л. Н. Липатов, Г. В. Фролов, 1967; H. Cheng, Т. Т. Wu, 1969).

В качестве другого примера рассмотрим комптоновское рассеяние, описываемое двумя диаграммами (74,14). Эти диаграммы не допускают рассечения в канале, но вторая из них рассекается в -канале по внутренней электронной линии; в обозначениях этого параграфа она имеет вид

Это значит, что рассеяние сосредоточено в основном вблизи направления назад (как это уже было отмечено в конце § 86; см. (86,20)). Для нахождения асимптотики в этой области замечаем, что множитель G, отвечающий внутренней линии диаграммы (134,11), имеет порядок величины Поэтому амплитуда рассеяния в нее введен множитель а в соответствии с тем, что диаграмма (134,10) — второго порядка. Отсюда дифференциальное сечение: Интеграл этого выражения по определяется областью значений . В результате полное сечение убывает с ростом энергии по закону a (точнее, ; ср. (86,20)).

Но для этого процесса радиационные поправки меняют асимптотику. Изменение возникает за счет диаграмм шестого порядка типа

(134,12)

Они допускают в канале рассечение по двум внутренним фотонным линиям и потому дают вклад в амплитуду с асимптотикой множитель отвечает шестому порядку диаграммы. При достаточно больших s эта часть амплитуды становится основной и тогда дифференциальное сечение

Интеграл этого выражения по t определяется областью малых значений , т. е. областью углов рассеяния (обратим внимание на то, что рассеяние происходит теперь в основном в направлении вперед, а не назад). В результате полное сечение перестает убывать с энергией:

(134,13)

Убывающая часть сечения сравнивается с этой его постоянной частью при

Аналогичная ситуация имеет место для рассеяния света на свете. В первом неисчезающем приближении оно описывается «квадратными» диаграммами (127,1), которые могут быть рассечены по двум внутренним электронным линиям. По -импульсу этих линий в диаграмме производится интегрирование, причем существенны импульсы малые значения t (или и) ничем не выделены. Поэтому асимптотика этих диаграмм при любом (или ) дается законом (134,5): . При этом полное сечение убывает с ростом энергии: углы, близкие к нулю или к , здесь никак не выделены.

Но в восьмом порядке появляются диаграммы, допускающие рассечение (в t- или в -канале) по двум внутренним фотонным линиям, например

(134,14)

Эти диаграммы приводят к постоянной асимптотике сечения: при

Постоянная асимптотика для полного сечения — характерное свойство процессов рассеяния, диаграммы которых рассекаются (в t- или в -канале) по внутренним фотонным линиям. Это свойство имеет место и в тех случаях, когда в конечном состоянии реакции возникает более двух частиц.