§ 29. Поляризационная матрица плотности

Координатная зависимость волновой функции описывающей свободное движение с импульсом (плоская волна), сводится к общему множителю а амплитуда играет роль спиновой волновой функции. В таком (чистом) состоянии частица полностью поляризована (см. III, § 59). В нерелятивистской теории это означает, что спин частицы имеет определенное направление в пространстве (точнее, существует такое направление, вдоль которого проекция спина имеет определенное значение В релятивистской теории такая характеристика состояния в произвольной системе отсчета невозможна ввиду (отмеченного уже в § 23) несохранения вектора йшна. Чистота состояния означает лишь, что спин имеет определенное направление в системе, покоя частицы.

В состоянии частичной поляризации не существует определенной амплитуды, а лишь поляризационная матрица плотности — биспинорные индексы). Определим эту матрицу таким образом, чтобы в чистом состоянии она сводилась к произведениям

(29,1)

Соответственно этому матрица нормируется условием

В чистом состоянии среднее значение спина определяется величиной

Соответствующее выражение для состояния частичной поляризации:

Амплитуды удовлетворяют системам алгебраических уравнений

Поэтому матрица (29,1) удовлетворяет уравнениям

Таким же линейным уравнениям должна подчиняться матрица плотности и в общем случае смешанного (по спину) состояния (ср. аналогичный вывод в III, § 14).

Если рассматривать свободную частицу в ее системе покоя, то к ней применима нерелятивистская теория.

Но в этой теории состояние частичной поляризации полностью определяется тремя параметрами — компонентами вектора среднего значения спина s (см. III, § 59). Ясно поэтому, что те же параметры будут определять поляризационное состояние и после любого преобразования Лоренца, т. е. для движущейся частицы.

Обозначим удвоенное среднее значение вектора спина в системе покоя посредством (в чистом состоянии в смешанном Для четырехмерного описания поляризационного состояния удобно ввести 4-вектор совпадающий в системе покоя с трехмерным вектором ; поскольку — аксиальный вектор, то — 4-псевдовектор. Этот 4-вектор ортогонален 4-импульсу в системе покоя (где ), а потому и в произвольной системе отсчета

В произвольной системе отсчета будет также и

Компоненты 4-вектора в системе отсчета, в которой частица движется со скоростью находятся путем преобразования Лоренца из системы покоя и равны

где индексы и J. означают компоненты векторов g и а, параллельные и перпендикулярные направлению . Эти формулы можно записать в векторном виде:

Рассмотрим сначала неполяризованное состояние Матрица плотности в этом случае может содержать в качестве параметров лишь 4-импульс .

Единственный вид такой матрицы, удовлетворяющей уравнениям (29,5), есть

(29,10)

(И. Е. Тамм, 1930, Н. В. G. Casimir, 1933). Постоянный коэффициент выбран в соответствии с нормировочным условием (29,2).

В общем случае частичной поляризации ищем матрицу плотности в виде

автоматически удовлетворяющем уравнениям (29,5). При вспомогательная матрица должна обращаться в единичную; поскольку

(29,11) совпадет с выражением (29,10). Далее, она должна содержать 4-вектор а линейным образом в качестве параметра, т. е. иметь вид

(29,12)

во втором члене фигурирует скалярное произведение псевдовектора а и «матричного 4-псевдовектора» Для определения коэффициента А напишем матрицу плотности в системе покоя:

и вычислим, согласно (29,4), среднее значение спина. Воспользовавшись перечисленными в § 22 правилами, легко найдем, что единственный отличный от нуля член в искомом следе

Приравняв это выражение , получим Окончательное выражение для найдем, подставив (29,12) в (29,11) и переставив множители ; в силу ортогональности произведение антикоммутативно с

а потому коммутативно с

Таким образом, матрица плотности частично поляризованного электрона дается выражением

(29,13)

(L. Michel, A. S. Wighiman, 1955).

Если матрица известна, то характеризующий состояние 4-вектор а (а с ним и вектор ) можно найти по формуле

(29,14)

Формулы для матрицы плотности позитрона аналогичны формулам для электрона. Если бы мы описывали позитрон (с 4-импульсом ) позитронной амплитудой и определенной в соответствии с такой амплитудой матрицей плотности то никакого отличия от случая электрона вообще не было бы и матрица давалась бы той же формулой (29,13). Однако при фактических вычислениях сечений процессов рассеяния с участием позитронов приходится иметь дело (как мы увидим в дальнейшем) не с а с амплитудами «отрицательной частоты Соответственно этому и поляризационную матрицу плотности (обозначим ее ) следует определить так, чтобы для чистого состояния она сводилась к

Согласно (26,1) позитронная амплитуда Обратно:

(ср. (28,3)). Если

то с помощью этих формул получим

(29,15)

Подставляя сюда для выражение (29,13) и производя (с помощью (26,3), простые преобразования, получаем

(29,16)

В частности, для неполяризованного состояния

(29,17)

В дальнейшем, говоря о позитронных матрицах плотности, мы будем иметь в виду матрицы и индекс у них будем опускать (матрицами же ) фактически не приходится пользоваться).

В различных вычислениях нам часто придется усреднять по спиновым состояниям выражения вида где F — некоторая (четырехрядная) матрица, а — биспинорная амплитуда состояния с определенным 4-импульсом .

Такое усреднение эквивалентно замене произведений матрицей плотности частично поляризованного состояния.

В частности, полное усреднение по двум независимым спиновым состояниям эквивалентно переходу к неполяризованному состоянию; при этом согласно (29,10) имеем

(29,18)

поляр

Аналогично для волновых функций отрицательной частоты

(29,19)

поляр

Если речь идет не об усреднении, а о суммировании по спиновым состояниям — результат в два раза больше.

Проследим, каким образом матрица плотности (29,13) переходит в пределе в свое нерелятивистское выражение. Для этого перейдем к системе покоя электрона. В стандартном представлении волновых функций амплитуды в этой системе становятся двухкомпонентными; вместе с ними должна стать двухрядной матрица плотности. Действительно, в системе покоя имеем

и с помощью выражений матриц у (21,20) и (22,18) находим

(29,20)

(нули обозначают двухрядные нулевые матрицы). Если принять обычную в нерелятивистской теории нормировку матрицы плотности на вместо нормировки на то это выражение надо будет разделить на так что получится

в согласии с III (59,6).

Аналогичным образом нерелятивистский предел позитронной матрицы плотности:

Наконец, напишем упрощенное выражение матрицы плотности в ультрарелятивистском случае.

Положив в самым мы пренебрегаем величинами относительной малости подставив эти выражения в (29,13) или (29,16) и выбрав направление в качестве оси х, запишем

где верхний знак относится к случаю электрона, а нижний — к случаю позитрона. При раскрытии произведения главные члены в нем выпадают, а члены следующего порядка дают

или, при записи в виде

Это и есть искомое выражение матрицы плотности в ультрарелятивистском случае. Обратим внимание на то, что все компоненты вектора поляризации входят в него равноправно как члены одного порядка величины. Напомним, что есть компонента этого вектора, параллельная (при или антипараллельная импульсу частицы. В частности, для спирального состояния частицы при этом матрица плотности принимает особенно простой вид:

(29,22)

совпадающий, как и должно быть, с видом матрицы плотности нейтрино или антинейтрино — частицы с нулевой массой и определенной спиральностью (см. § 30).