§ 105. Точный электронный пропагатор

Подобно фотонному, точный электронный пропагатор определяется формулой

(105,1)

( — биспинорные индексы), отличающейся от определения (75,1) пропагатора свободных частиц

(105,2)

заменой -операторов в представлении взаимодействия гейзенберговскими.

Те же рассуждения, что и при выводе (103,7), позволяют преобразовать к виду

(105,3)

Разложение этого выражения по степеням приводит к представлению функции в виде совокупности диаграмм с двумя внешними электронными линиями и различным числом вершин. При этом роль знаменателя в (105,3) снова сводится к необходимости учитывать лишь диаграммы без изолированных «вакуумных петель».

Так, с точностью до членов графическое представление пропагатора S (жирная сплошная линия) имеет вид

Жирной сплошной линии сопоставляется (в импульсном представлении) функция а всем сплошным и пунктирным линиям в диаграммах правой стороны равенства — пропагаторы свободных частиц соответственно

Блок, заключенный между двумя электронными линиями, называют электронной собственно-энергетической частью. Как и в фотонном случае, такую часть называют компактной, если она не может быть разделена дальше на две другие собственно-энергетические части путем рассечения по одной электронной линии. Сумму всех возможных компактных частей обозначим посредством функцию называют массовым оператором. Так, с точностью до членов

Путем суммирования, в точности аналогичного выводу (103,13), получим

(105,6)

(биспинорные индексы опускаем), или, для обратных матриц,

(105,7)

В § 102 уже было отмечено, что гейзенберговские -операторы (в противоположность -операторам в представлении взаимодействия) меняются в результате калибровочного преобразования электромагнитных потенциалов. Вместе с ними оказывается калибровочно-неинвариантным также и точный электронный пропагатор . Выясним закон его калибровочного преобразования (Л. Д. Ландау, И. М. Халатников, 1952).

Заранее ясно, что изменение З при калибровочном преобразовании должно выражаться через ту же величину которая добавляется при этом преобразовании к фотонному пропагатору. Это станет очевидным, если заметить, что при вычислении § по диаграммам теории возмущений каждый член ряда выражается через функции D и никаких других электромагнитных величин в них не входит. Этим обстоятельством можно воспользоваться для упрощения выводов: можно делать любые частные предположения о свойствах произвольного оператора в преобразовании (102,8), лишь бы ответ был выражен через

В результате преобразования (102,8) пропагаторы 2) (103,1) и (105,1) переходят в

Будем считать теперь, что операторы усредняются независимо от всех остальных операторных множителей в -произведении; это предположение вполне естественно, поскольку в силу калибровочной инвариантности «поле» не принимает никакого участия во взаимодействии. Положим также, что обращается в нуль среднее по вакууму от самого оператора Тогда в (105,8) члены, содержащие отделяются и получается

(105,9)

Дальнейший вывод произведем для бесконечно малого преобразования; чтобы подчеркнуть эту малость, будем писать вместо

Преобразование (105,9) можно (независимо от малости 6%) записать в виде

(105,11)

где

(105,12)

Отсюда видно, что функция определяет изменение при калибровочном преобразовании продольной части фотонного пропагатора Предположение о зависимости этой функции только от разности означает, конечно, определенное ограничение на свойства оператора в общем случае вполне произвольного калибровочного преобразования пространственно-временная однородность пропагатора может нарушиться.

В преобразовании же (105,10) разлагаем экспоненциальные множители по степеням 6% с точностью до квадратичных членов:

С учетом определения (105,12) находим, таким образом, следующий закон преобразования электронного пропагатора:

В импульсном представлении:

(105,14)

При этом функция связана с изменением функции согласно

(105,15)

Для электронного пропагатора можно было бы получить интегральное представление, аналогичное формуле (104,11). Его вывод основан на выражениях

(105,16)

для матричных элементов -оператора, подобных использованным в § 104 выражениям (104,6) для матричных элементов тока. В противоположность току, однако, сами -операторы калибровочно-неинвариантны. Поэтому и координатная зависимость вида (105,16) не имеет общего характера, а относится лишь к некоторой определенной калибровке. Тем самым относится лишь к определенной калибровке и основанное на (105,16) интегральное представление пропагатора.

Более глубокая физическая причина этой ситуации состоит в том, что равенство нулю массы фотона приводит к инфракрасной катастрофе (см. § 98). Вследствие этого электрон в процессе взаимодействия испускает бесконечное число мягких квантов, что в значительной степени лишает прямого смысла «одночастичный» пропагатор (105,1).