§ 70. Инвариантные амплитуды

В спиральных амплитудах используется определенная система отсчета — система центра инерции. Между тем при вычислении амплитуд рассеяния с помощью инвариантной теории возмущений (а также для исследования их общих аналитических свойств) удобно записывать амплитуды в явно инвариантной форме.

Если частицы, участвующие в реакции, не имеют спина, то амплитуда рассеяния зависит только от инвариантных произведений 4-импульсов частиц. Для реакции вида

в качестве этих инвариантов можно выбрать какие-либо две из определенных в § 66 величин s, t, и. Тогда амплитуда рассеяния сводится к одной функции .

Если же частицы обладают спинами, то, помимо кинематических инвариантов s, t, и, существуют также инварианты, которые можно составить из волновых амплитуд частиц (биспиноров, 4-тензоров и т. п.). Амплитуды рассеяния должны тогда иметь вид

где — инварианты, линейно зависящие от волновых амплитуд всех участвующих частиц (а также от их 4-импульсов). Коэффициенты называют инвариантными амплитудами.

Выбрав волновые амплитуды так, чтобы они отвечали частицам с определенными спиральностями, мы получим определенные значения инвариантов Тогда спиральные амплитуды рассеяния представятся в виде линейных однородных комбинаций инвариантных амплитуд Отсюда видно, что число независимых функций совпадает с числом независимых спиральных амплитуд. Поскольку число последних определяется легко (как было объяснено в § 69), тем самым облегчается задача построения инвариантов — мы заранее знаем, сколько их должно быть.

Рассмотрим некоторые примеры. Во всех примерах будем считать, что взаимодействие Г- и Р-инвариантно; последнее свойство означает, что инварианты должны быть истинными (а не псевдо) скалярами.

Рассеяние частицы со спином 0 на частице со спином

Для подсчета числа инвариантов — или, что то же, числа независимых спиральных амплитуд — замечаем, что полное число элементов матрицы (т. е. число различных наборов чисел ) в данном случае равно . С учетом Р-инвариантности число независимых элементов сводится к двум, после чего учет Г-инвариантности уже не меняет этого числа.

В качестве двух независимых инвариантов можно выбрать

Здесь - биспинорные амплитуды начального и конечного фермионов; где k и k' — 4-импульсы начального и конечного бозонов

Г-инвариантность величин (70,3) станет очевидной, если заметить, что произведения преобразуются при обращении времени по тому же закону (28,6), что и операторы

матричными элементами которых они являются: произведение инвариантно само по себе, а 4-вектор преобразуется по закону

Таким же образом преобразуются -импульсы и скалярное произведение , следовательно, инвариантно.

Упругое рассеяние двух тождественных частиц со спином

Для подсчета числа независимых спиральных амплитуд удобно исходить из линейных комбинаций спиральных состояний:

где индексы указывают значения спиральностей двух частиц.

Состояния четны, а состояние и нечетно по отношению к перестановке частиц. Поэтому переходы и запрещены, так что с учетом перестановочной симметрии остается матричных элементов. По отношению к инверсии функции имеют противоположные четности; запрещение переходов между ними уменьшает число независимых амплитуд до шести. Наконец, Г-инвариантность приводит к совпадению амплитуд переходов так что остается всего пять независимых амплитуд. В качестве пяти независимых инвариантов можно выбрать

где — биспинорные амплитуды начальных, а — конечных частиц. Перестановка начальных (или конечных) частиц не приводит к новым инвариантам: новые инварианты выражаются через старые (см. задачу к § 28). Но выражение (70,2) с из (70,4) не учитывает в явном виде требования, согласно которому перестановка двух тождественных фермионов должна менять знак амплитуды рассеяния. Удовлетворяющее этому требованию выражение можно записать в виде

При перестановке кинематические инварианты: так что указанное требование выполняется автоматически.

Упругое рассеяние фотона на частицах со спином 0 и

Амплитуду этих процессов целесообразно выразить с помощью единичных пространственноподобных -векторов удовлетворяющих условиям

(для каждого из двух фотонов эти -векторы могут служить теми -ортами, с помощью которых осуществляется инвариантное описание их поляризационных свойств — см. § 8).

Пусть k и А — начальный и конечный -импульсы фотона, а — то же для рассеивающей частицы.

Рассмотрим 4-векторы

где

Они очевидным образом взаимно ортогональны. Они ортогональны также 4-векторам К, q, а следовательно, и k, k'. Будучи ортогональны времениподобному 4-вектору К. они сами пространственноподобны (действительно, в системе отсчета, в которой из следует, что а потому Пронормировав Р и N, т. е. образовав

мы получим пару 4-векторов, обладающих всеми требуемыми свойствами. Отметим, что — истинный, а — псевдовектор. Представим амплитуду рассеяния фотона в виде

выделив в ней 4-векторы поляризации начального и конечного фотонов.

Спиральность фотона пробегает всего два значения Поэтому для рассеяния фотона на частице со спином 0 число независимых спиральных амплитуд такое же, как для взаимного рассеяния частиц со спином 0 и 1/2, т. е. равно 2. Тензор F в (70,9) должен быть построен только из 4-импульсов частиц. Его можно представить в виде

(70,10)

где — инвариантные амплитуды. Обратим внимание на то, что в F не может быть члена с произведением так как это произведение — псевдотензор и при подстановке в (70,9) дало бы псевдоскаляр.

Наконец, рассмотрим рассеяние фотона на частице со спином Для подсчета числа независимых спиральных амплитуд замечаем, что полное число элементов матрицы в этом случае есть 16 (спиральность каждой из двух начальных и двух конечных частиц пробегает по два значения). Требование Р-инвариантности уменьшает это число до ; после чего требование Г-инвариантности доводит его до 6.

Представим тензор в этом случае в виде

где — истинные, — псевдоскаляры.

Те и другие билинейны относительно биспинорных амплитуд фермионов т. е. имеют вид

(70,12)

Общий вид матриц (по биспинорным индексам)

где Коэффициенты -инвариантные амплитуды, число которых получилось здесь равным 8 (вместо нужного 6) ввиду того, что еще не учтено требование Г-инвариантности.

Обращение времени переставляет начальные и конечные 4-импульсы частиц, меняя также знаки их пространственных компонент:

(70,14)

4-векторы поляризации фотонов преобразуются согласно

(70,15)

(ср. (8,11а)), так что

В силу последнего преобразования условие инвариантности амплитуды рассеяния (70,9) эквивалентно требованию

С другой стороны, как следствие замен (70,14) имеем

так что

(70,16)

Из выражения (70,11) следует поэтому, что должно быть

Но при обращении времени

как это ясно из законов преобразования псевдоскалярных и псевдовекторных билинейных форм в (28,6). Поэтому из выражений (70,12-13) видно, что в силу Г-инвариантности амплитуды рассеяния должно быть

(70,17)