§ 27. Внутренняя симметрия частиц и античастиц

Волновая функция частицы со спином в ее системе покоя сводится к одному 3-спинору (обозначим его ). С поведением этого спинора при инверсии связано понятие о внутренней четности частицы. Однако (как было уже указано в § 19), хотя два возможных закона преобразования 3-спиноров и не эквивалентны друг другу, но приписывание спинору определенной четности не имеет абсолютного смысла. Не имеет поэтому смысла говорить и о внутренней четности самой по себе частицы со спином 1/2. Можно, однако, говорить об относительной внутренней четности двух таких частиц.

Из двух (трехмерных) спиноров можно составить скаляр . Если это — истинный скаляр, то говорят, что описываемые данными спинорами частицы имеют одинаковую четность; если же это — псевдоскаляр, то говорят о противоположной внутренней четности частиц.

Покажем, что внутренние четности частицы и античастицы (со спином 1/2) противоположны (В. Б. Берестецкий, 1948).

Для этого заметим, что если к обеим сторонам Р-преобразо-вания (19,5) (в спинорном представлении)

применить операцию С (26,7), то получим

где индексом с отмечены компоненты биспинора зарядово-сопряженного биспинору . Произведя комплексное сопряжение и переместив индексы, найдем

(27,2)

Мы видим, что зарядово-сопряженные биспиноры преобразуются при инверсии по одинаковому закону.

Пусть — волновая функция частицы (электрона), а — волновая функция античастицы (позитрона). Последняя есть биспинор, зарядово-сопряженный некоторому «отрицательно-частотному» решению уравнения Дирака. В системе покоя каждая из них сводится к некоторому 3-спинору:

Согласно (27,1-2) эти спиноры преобразуются при инверсии по закону

одинаковому для Произведение же меняет знак, что и доказывает сделанное утверждение.

Истинно нейтральной называют частицу, совпадающую со своей античастицей (см. § 12). -оператор поля таких частиц удовлетворяет условию

Для частиц со спином это означает условия (в спинорном представлении)

Как и всякие соотношения, выражающие собой какие-либо физические свойства, эти условия инвариантны относительно преобразования СРТ. Легко проверить, что фактически они инвариантны не только по отношению к СРТ, но и по отношению к каждому из трех преобразований в отдельности.

Мы условились в § 19 определять инверсию спиноров как преобразование, для которого и до сих пор следовали этому определению. Легко видеть, что полученный выше результат об относительной четности частиц и античастиц не зависит, как и должно быть, от способа определения инверсии.

Если инверсия определена условием то вместо (27,1) будет

Зарядово-сопряженная же функция преобразуется при этом по закону

отличающемуся от (27,5) знаком. Соответственно этому трехмерные спиноры Ф будут преобразовываться согласно

так что произведение будет по-прежнему псевдоскаляром.

Единственное возможное различие в физических следствиях обеих концепций инверсии состоит в том, что при определении (27,5) условие истинной нейтральности поля не было бы инвариантным относительно этого преобразования (или преобразования оно меняло бы относительный знак обеих сторон равенств (27,4). Фактически истинно нейтральные частицы со спином неизвестны, и в настоящее время нельзя сказать, имеет ли указанное различие в двух определениях инверсии реальный физический смысл.

Задача

Найти зарядовую четность позитрония (водородоподобная система из электрона и позитрона).

Решение. Волновая функция двух фермионов должна быть антисимметрична относительно одновременной перестановки координат, спинов и зарядовых переменных частиц задачу к § 13). Перестановка первых умножает функцию на вторых — на или 1 — полный спин системы), третьих — на искомое С. Из условия находим

Поскольку внутренние четности электрона и позитрона противоположны, пространственная четность системы Комбинированная четность: