§ 96. Точная теория тормозного излучения в ультрарелятивистском случае

Матричный элемент для тормозного излучения

волновые функции начального и конечного электронов содержат в своих асимптотиках соответственно выходящую и входящую сферические волны. Вычисление этого интеграла аналогично вычислению матричного элемента (95,2). Мы, однако, изложим здесь другой способ вычисления сечения тормозного излучения, основанный на квазиклассичности процесса и не использующий явного вида волновых функций электрона в поле ядра; в этом смысле метод не связан с конкретным видом потенциала поля (В. Н. Байер, В. М. Катков, 1968).

В процессе тормозного излучения ядро передает электрону и фотону импульс . Как и в задаче о рождении пар, надо различать две области значений передачи импульса поперечной по отношению к

Очевидно, что в области I сечение испускания фотона дается своим борновским значением: для таких q изменение импульса отдачи ядра при излучении несущественно, как это будет показано в § 98 (см. вывод условия (98,10)). Поэтому в области I сечение процесса равно произведению точного сечения рассеяния электрона в поле неподвижного ядра и вероятности испускания фотона, не зависящей от вида поля. Но согласно (80,10) сечение рассеяния в кулоновом поле для малых углов совпадает со своим борновским значением. То же самое относится поэтому к сечению всего процесса в области I.

Таким образом, требует особого рассмотрения только область II. Малым передачам импульса отвечает прохождение электрона мимо ядра на больших прицельных расстояниях: Но на таких расстояниях движение электрона заведомо квазиклассично, в чем легко убедиться простым применение обычного условия квазиклассичности III (46,7) и ультрарелятивисткому уравнению (39,5).

Квазиклассичность движения позволяет применить метод, использованный уже в § 90 для магнитотормозного излучения. При азом выражение (90,7) в данном случае представляет собой вероятность испускания при однократном прохождении электрона мимо ядра.

Для фигурировавшей в § 90 функции L остается в силе формула (90,18); единственное отличие состоит в форме квазиклассической тргекюрии электрона по которой вычисляется разность

На больших прицельных расстояниях поле ядра можно считать слабым. В нулевом приближении траектория представляет, собой прямую, проходящую на расстоянии от центра. В следующем приближении имеем уравнение движения (ср. I, § 20)

где — вектор в плоскости перпендикулярной начальному импульсу электрона, а в качестве в правой стороне уравнения следует взять функцию нулевого приближения:

Следовательно,

С достаточной точностью скорость (где энергия в зависит только от величины, но не от направления ) можно считать постоянной. Еще одно интегрирование дает тогда

Положим так что величины будут начальными импульсом и скоростью электрона. Представим вероятность (90,7) в виде

где

Здесь . Классическая функция дается формулой (96,3). Если — начальный импульс электрона, то для кулонова поля ) имеем

Введя передачу импульса в классическом рассеянии

можно переписать эти формулы как

Используя теперь формулу (90,20) для и выражения (96,8) для можно произвести интегрирование по времени в (96,6). Оно осуществляется введением переменной

вместо t и использованием формулы

где — функция Макдональда. В полном проведении этого вычисления, однако, нет необходимости, поскольку нам требуется выражение лишь для малых значений независимого параметра . В этом случае находим

где

— некоторая функция (но не ), причем ее точный вид несуществен.

Поскольку в ультрарелятивистском случае фотон испускается под малым углом к направлению скорости электрона, имеем

или

Уже было упомянуто, что (96,5) есть вероятность испускания фотона при однократном прохождении электрона мимо ядра на прицельном расстоянии . Сечение испускания фотона с заданными частотой и направлением получается умножением этой вероятности на и интегрированием по прицельным параметрам:

(96,11)

Не следует, однако, думать, что эта формула без интегрирования по дала бы также и распределение конечных электронов по направлениям. Отклонение электрона при его движении по классической орбите однозначно определяется внешним полем и заведомо не совпадает с неопределенным квантовомеханическим отклонением (а предельное значение ) классической функции не совпадает поэтому с реальным конечным значением импульса электрона). Для нахождения этого распределения необходимо, следовательно, переразложить волновую функцию электронов по плоским волнам.

Как видно из (96,11), есть амплитуда испускания фотона при столкновении на прицельном расстоянии . Но выражения (96,5-6) определяют эту амплитуду лишь с точностью до фазового множителя. Последний есть, очевидно, — ввиду наличия не зависящего от времени члена этот постоянный множитель должен присутствовать в и может быть вынесен из-под знака интеграла. Поскольку он не является оператором, он не затрагивается операциями коммутирования и, таким образом, амплитуда процесса испускания есть

(96,12)

где дается выражением (96,9).

Пусть электрон описывается при плоской волной с импульсом , направленным вдоль оси . Это значит, что волновая функция электрона при не зависит от х и у и сводится к постоянной, которую можно положить равной 1.

Тогда волновая функция электрона, прошедшего через поле, при со есть

(96,13)

С другой стороны, по смыслу амплитуды перехода (96,12) волновая функция электрона, прошедшего через поле и испустившего фотон, есть

(96,14)

Амплитуда же процесса испускания фотона, в котором электрон остается в состоянии с определенным импульсом р, дается соответствующей фурье-компонентой функции (96,14), т. е.

(96,15)

где — поперечная компонента вектора передачи импульса ядру (ср. III (131,7)). Сечение же рассеяния с заданным значением есть

(96,16)

Вычислим теперь S(p). В рассматриваемом случае кулонова поля интеграл в экспоненте расходится, в соответствии с расходимостью фазы в кулоновом рассеянии. Поэтому интеграл надо брать между конечными пределами:

. Первый, постоянный, член не существен, так что

(96,17)

Подставляя (96,9), (96,17) в (96,15) и интегрируя по направлениям вектора в плоскости ху, находим

(96,18)

Множители, не содержащие здесь не выписаны.

Мы видим, что зависимость амплитуды (а следовательно, и сечекия (96,18)) от v содержится в отдельном множителе. С другой стороны, при v 0 сечение должно стремиться к своему борновскому значению. Поэтому ясно, что сечение будет отличаться от борновского лишь множителем, который не зависит от поляризации электрона и не влияет на поляризационные эффекты.

Интеграл (96,18) может быть выражен через гипергеометрическую функцию с помощью формулы

Это дает

где

здесь использовано, что в области II (см. (96,2)) параллельная компонента вектора

(96,21)

В этом легко убедиться, если учесть, что в указанной области углы Между импульсами и к удовлетворяют условиям (93,15).

Гипергеометрическая функция в (96,19) может быть сведена к функции (95,15) с помощью формулы

Окончательный результат представится тогда в виде

(96,22)

где — борновское сечение (93,13) (Н. A. Bethe, L. Maximon, 1954). При имеем так что весь коэффициент при стремится к единице. В этом смысле формула (96,22), выведеннаядля области II, автоматически справедлива при всех . Когда и поправочный множитель в (96,22) отличен от единицы, векторы к почти компланарны и величины почти равны друг другу; это уже было учтено в (96,22).

Таким образом, q в выражении (96,20) для z может быть переписано как

(96,23)

т. е. можно положить во втором члене в (93,14), но не в первом члене, который не содержит малого коэффициента

Для нахождения интегрального (по углам) сечения излучения нет необходимости производить интегрирование заново, как это ясно из следующих рассуждений (Н. Olsen, 1955). Различные направления (при заданной энергий в) отвечают вырождению конечного состояния электрона. Очевидно, что результат суммирования по состояниям, относящимся к одному вырожденному уровню, не зависит от того, каким образом будет выбран полный набор этих состояний. Мы можем поэтому воспользоваться для целей суммирования по направлениям системой функций вместо системы (необходимой для вычисления дифференциального сечения), т. е. определить матричный элемент тормозного излучения как

Легко убедиться, что этот интеграл совпадает с интегралом если в последнем заменить параметры волновых функций согласно

(а также заменить переменные интегрирования; ).

Отсюда ясно, что интегральное (по углам) сечение тормозного излучения можно получить из интегрального сечения образования пары (95,20), умножив последнее на

(ср. (91,6)) и заменив Таким образом, найдем

Мы видим, что поправки к борновским формулам для интегральных сечений тормозного излучения и образования пары даются одной и той же функцией

Формула (96,24), не связанная с какими-либо ограничениями на величину допускает переход к классическому пределу . В этом пределе надо также положить

Имея в виду асимптотическое выражение при и значение (С — постоянная Эйлера), находим для эффективного торможения

(96,25)

Это выражение, не содержащее есть классическое спектральное распределение интенсивности тормозного излучения.