§ 79. Виртуальные частицы

Внутренние линии диаграмм Фейнмана играют в инвариантной теории возмущений роль, аналогичную роли промежуточных состояний в «обычной» теории. Характер этих состояний, однако, в обеих теориях различен. В обычной теории в промежуточных состояниях сохраняется импульс (трехмерный), но не сохраняется энергия; в этом смысле о них говорят как о виртуальных состояниях. В инвариантной же теории импульс и энергия входят равноправно: в промежуточных состояниях сохраняются все компоненты 4-импульса (результат того, что в элементах -матрицы интегрирование производится и по координатам, и по времени, чем достигается инвариантность теории).

При этом, однако, в промежуточных состояниях нарушается присущая реальным частицам связь между энергией и импульсом (выражаемая равенством ). В этом смысле говорят о промежуточных виртуальных частицах. Соотношение между импульсом и энергией виртуальной частицы произвольно — оно такое, какое требуется сохранением 4-импульса в вершинах.

Рассмотрим некоторую диаграмму, состоящую из двух частей и II), соединенных одной линией. Не интересуясь внутренней структурой этих частей, представим диаграмму схематически в виде

(изображенные линии могут быть как сплошными, так и пунктирными). В силу общего закона сохранения, суммы 4-импульсов внешних линий частей одинаковы; в силу сохранения в каждой вершине — этой же величине будет равен и 4-импульс внутренней линйи, соединяющей части и II. Другими словами, этот импульс однозначно определен, так что в матричном элементе по нему не производится интегрирования.

В зависимости от канала реакции квадрат может быть как положителен, так и отрицателен. Всегда существует такой канал, в котором Тогда виртуальная частица по своим формальным свойствам становится вполне аналогичной реальной частице с вещественной массой Для нее можно ввести систему покоя, можно определить ее спин и т. п.

Фотонный пропагатор (76,11) по своей тензорной структуре совпадает с матрицей плотности неполяризованной частицы со спином 1 и отличной от нуля массой:

(см. (14,15)). С другой стороны, пропагатор (как величина, составленная квадратично из операторов поля) играет для виртуальной частицы роль, аналогичную роли матрицы плотности реальной частицы. Поэтому виртуальному фотону надо приписать, как и реальному, спин 1. Однако в отличие от реального фотона с его двумя независимыми поляризациями — виртуальный фотон как «частица» конечной массы может иметь все три поляризации.

Функция распространения электрона

Здесь — масса реального электрона, между тем как «масса» виртуальной частицы Написав

мы видим, что первый член отвечает матрице плотности частицы с массой М и спином , а второй член—матрице плотности такой же «античастицы» (ср. (29,10) и (29,17)). Вспомнив, что частица и античастица имеют различные внутренние четности (см. § 27), придем к выводу, что виртуальному электрону надо приписать тот же спин но нельзя припйсать определенной четности.

Характерная особенность диаграммы (79,1) состоит в том, что ее можно рассечь на две не связанные друг с другом части, пересекая при этом всего одну внутреннюю линию. Эта линия соответствует в таком случае одночастичному промежуточному, состоянию — состоянию с всего одной виртуальной частицей. Амплитуда рассеяния, соответствующая такой диаграмме, содержит характерный (не подвергающийся интегрированию!) множитель

происходящий от внутренней линии (причем m — масса электрона, если линия электронная, или если линия фотонная). Другими словами, амплитуда рассеяния имеет полюс при тех значениях , при которых виртуальная частица стала бы физической Эта ситуация аналогична тому, как в нерелятивистской квантовой механике амплитуда рассеяния имеет полюсы при значениях энергии, отвечающих связанным состояниям системы сталкивающихся частиц (см. III, § 128).

Рассмотрим диаграмму (79,1) для того канала реакции, в котором все правые свободные концы отвечают начальным, а все левые — конечным частицам; при этом Тогда можно сказать, что в промежуточном состоянии система начальных частиц превращается в одну виртуальную. Это возможно, лишь если такое превращение не противоречит необходимым законам сохранения (без учета сохранения 4-импульса): сохранению момента, заряда, зарядовой четности и т. п.

В этом и заключается необходимое условие появления, как говорят, полюсных диаграмм. Присутствуя для одного из каналов, такие диаграммы тем самым будут в силу кросс-инвариантности существовать и для остальных каналов реакции.

Например, указанные законы сохранения не препятствуют возникновению виртуального электрона согласно Эта возможность отвечает полюсу амплитуды комптон-зффекта (а тем самым и другого канала этой реакции — двухфотонной аннигиляции электронной пары). Возникновение виртуального фотона, согласно отвечает полюсу амплитуды рассеяния электрона на позитроне, а тем самым и электрона на электроне. Из двух же фотонов не может получиться ни виртуального электрона, ни виртуального фотона (превращение запрещено сохранением заряда и момента, а превращение — сохранением зарядовой четности). В соответствии с этим амплитуда рассеяния фотона на фотоне не может содержать полюсных диаграмм.

Происхождение полюсных особенностей амплитуд рассеяния, за которым мы проследили, исходя из интегралов Фейнмана, имеет в действительности более общий характер, не связанный с теорией возмущений. Покажем, что эти особенности возникают уже как следствие условия унитарности (71,2).

Предположим, что среди фигурирующих в (71,2) промежуточных состояний есть одночастичное. Вклад этого состояния:

где — 4-импульс и спиральность промежуточной частицы. Интегрирование по заменим интегрированием по (по области согласно

(М — масса промежуточной частицы). Интегрирование устраняет -функцию ); перейдя затем от амплитуд к амплитудам согласно (64,10), найдем

Предполагая Т- и Р-инвариантность, будем иметь (с точностью до фазового множителя) где состояния отличаются от t, f лишь знаком спиральностей частиц (при тех же импульсах). Взяв сумму равенств (79,3) и такого же для получим

где обозначено

Отсюда и следует, что как аналитическая функция от имеет полюс при Согласно (75,18) имеем для полюсной части

Реальные переходы в одночастичное состояние возможны только при значении равном Таким образом, мы действительно получили структуру амплитуды рассеяния, отвечающую диаграмме вида (79,1).

Наконец, остановимся на важном свойстве диаграмм, содержащих замкнутые электронные петли. Это свойство можно легко получить путем применения к виртуальному фотону понятия зарядовой четности: виртуальному фотону, как и реальному, надо приписать определенную (отрицательную) зарядовую четность.

Если некоторая диаграмма содержит замкнутую петлю (с числом вершин N > 2), то наряду с этой диаграммой в амплитуде рассматриваемого процесса должна фигурировать также и другая диаграмма, отличающаяся от первой лишь направлением обхода петли (при N = 2 понятие направления обхода, очевидно, не имеет смысла). «Вырежем» эти петли по идущим к ним пунктирным линиям. Мы получим тогда две петли

которые можно рассматривать как диаграммы, определяющие амплитуду процесса превращения одной совокупности фотонов (реальных или виртуальных) в другую: число N есть при этом сумма чисел начальных и конечных фотонов. Но сохранение зарядовой четности запрещает превращение четного числа фотонов в нечетное. Поэтому при нечетном N сумма выражений, соответствующих петлям (79,6), должна обратиться в нуль.

Обращается, следовательно, в нуль также и суммарный вклад в амплитуду рассеяния двух диаграмм, содержащих эти петли в качестве своих составных частей (так называемая теорема Фаррщ W. Н. Furry, 1937).

Таким образом, при составлении амплитуды какого-либо процесса можно вовсе не рассматривать диаграмм, содержащих петли с нечетным числом вершин.

Проследим более детально за происхождением указанного взаимного сокращения диаграмм. Замкнутой электронной петле отвечает выражение (при заданных импульсах фотонных линий

где — импульсы электронных линий (остающиеся не вполне определенными после учета законов сохранения в вершинах). Произведем над всеми матрицами и G операцию зарядового сопряжения, т. е. заменим их на Выражение (79,7) при этом не изменится, так как след произведения матриц инвариантен относительно такого преобразования. С другой стороны, согласно (26,3)

а потому

Но замена транспонированной матрицей с измененным знаком у означает, очевидно, изменение направления обхода петли, в которой направление всех стрелок заменяется обратным. Другими словами, произведенное преобразование превращает одну петлю в другую, причем появляется множитель происходящий от замены (79,8) в каждой вершине. Таким образом,

(79,10)

т. е. вклады обеих петель одинаковы при четном и противоположны по знаку при нечетном числе вершин.