§ 5. Электромагнитное поле в квантовой теории

Описание поля как совокупности фотонов есть единственное описание, вполне адекватное физическому смыслу электромагнитного поля в квантовой теории.

Оно заменяет классическое описание с помощью напряженностей поля. Последние выступают в математическом аппарате фотонной картины как операторы вторичного квантования.

Как известно, свойства квантовой системы приближаются к классическим в тех случаях, когда велики квантовые числа, определяющие стационарные состояния системы. Для свободного электромагнитного поля (в заданном объеме) это означает, что должны быть велики квантовые числа осцилляторов, т. е. числа фотонов . В этом смысле глубокое значение имеет то обстоятельство, что фотоны подчиняются статистике Бозе. В математическом формализме теории связь статистики Бозе со свойствами классического поля проявляется в правилах коммутации операторов При больших , когда велики матричные элементы этих операторов, можно пренебречь единицей в правой стороне перестановочного соотношения (2,16), результате чего получится

т. е. эти операторы перейдут в коммутирующие друг с другом классические величины определяющие классические напряженности поля.

Условие квазиклассичности поля требует, однако, еще уточнения. Дело в том, что если велики все числа то при суммировании по всем состояниям энергия поля во всяком случае окажется бесконечной, так что условие становится беспредметным.

Физически осмысленная постановка вопроса об условиях квазиклассичности онована на рассмотрении Значений поля, усредненных по некоторому небольшому промежутку времени Если представить классическое электрическое поле Е (или магнитное поле Н) в виде разложения в интеграл Фурье по времени, то при усреднении его по промежутку времени заметный вклад в среднее значение Е дадут только те из компонент Фурье, частоты которых удовлетворяют условию в противном случае осциллирующий множитель при усреднении почти обратится в нуль. Поэтому при выяснении условия квазиклассичности усредненного поля надо рассматривать лишь те из квантовых осцилляторов, частоты которых со Достаточно потребовать, чтобы были велики квантовые числа этих осцилляторов.

Число осцилляторов с частотами между нулем и (отнесенное к объему ) по порядку величины равно

(51)

Полная энергия поля в единичном объеме Разделив эту величину на число осцилляторов и на некоторую среднюю энергию отдельного фотона найдем порядок величины чисел фотонов

Потребовав, чтобы это число было велико, получим неравенство

Это и есть искомое условие, допускающее классическое рассмотрение усредненного (по промежуткам времени А) поля. Мы видим, что поле должно быть достаточно сильным — тем большим, чем меньше интервал усреднения . Для переменных полей этот интервал не должен, разумеется, превышать периодов времени, в течение которых поле заметно меняется. Поэтому достаточно слабые переменные поля во всяком случае не могут быть квазиклассичны. Лишь в случае статических (постоянных во времени) полей можно положить , так что правая сторона неравенства (5,2) обращается в нуль. Это значит, что статическое поле всегда классично.

Уже было указано, что классические выражения для электромагнитного поля в виде суперпозиции плоских волн должны рассматриваться в квантовой теории как операторные. Физический смысл этих операторов, однако, весьма ограничен. Действительно, физически осмысленный оператор поля должен был бы приводить к равным нулю значениям поля в состоянии фотонного вакуума. Между тем среднее значение оператора квадрата поля в нормальном состоянии, совпадающее с точностью до множителя с нулевой энергией поля, оказывается бесконечным «средним значением» мы понимаем квантовомеханическое среднее значение, т. е. соответствующий диагональный матричный элемент оператора). Избежать этого нельзя даже с помощью какой-либо формальной операции вычеркивания (как это можно сделать для энергии поля), так как в данном случае мы должны были бы сделать это путем некоторого разумного видоизменения самих операторов Е, Н (а не их квадратов), что оказывается невозможным.