§ 76. Фотонный пропагатор

До сих пор нам приходилось (в § 43, 74) использовать явный вид операторов электромагнитного поля А при нахождении матричных элементов лишь по отношению к изменению числа реальных фотонов. Для этой цели было достаточным написанное в § 2 представление потенциалов свободного поля в виде разложения по поперечным плоским волнам.

Такое представление, однако, не дает само по себе полного описания произвольного поля. Это ясно уже из того, что диаграммы рассеяния (73, 13—14) должны учитывать и кулоново взаимодействие электронов. Последнее описывается скалярным потенциалом Ф и заведомо не может быть сведено к обмену лишь поперечными виртуальными фотонами (описываемыми векторным потенциалом, подчиненным условию

Таким образом, мы по существу не имеем еще полного определения операторов А, без чего невозможно прямое вычисление фотонного пропагатора согласно формуле

С другой стороны, калибровочная неоднозначность потенциалов в значительной степени лишает физического смысла те операторы, которые пришлось бы вводить для исчерпывающего квантования электромагнитного поля.

Эти затруднения, однако, имеют лишь формальный, а не физический характер, и их можно обойти, использовав некоторые общие свойства пропагатора, очевидные из требований релятивистской и калибровочной инвариантности.

Наиболее общий вид 4-тензора второго ранга, зависящего только от 4-вектора есть

где — скалярные функции инварианта Отметим, что тензор автоматически оказывается симметричным.

Соответственно в импульсном представлении будем иметь

где — компоненты Фурье функций

В физические величины — амплитуды рассеяния — фотонная функция распространения входит умноженной на токи переходов двух электронов, т. е. в комбинациях вида (см., например, (73,13)). Но в силу сохранения тока его матричные элементы удовлетворяют условию 4-поперечности

где (ср. (43,13)). Ясно поэтому, что никакие физические результаты не изменятся при замене

где — любые функции к и Этот произвол в выборе D соответствует произволу в калибровке потенциалов поля.

Произвольное калибровочное преобразование (76,5) может нарушить релятивистски инвариантный вид предположенный в (76,3) (если величины не составляют 4-вектора). Но и оставаясь в рамках релятивистски инвариантных форм пропагатора, мы видим, что выбор функции в (76,3) вполне произволен; он не отразится на физических результатах и может устанавливаться из соображений удобства (Л. Д. Ландау, А. А. Абрикосов, И. М. Халатников, 1954).

Нахождение функции распространения сводится, таким образом, к определению всего одной калибровочно-инвариантной функции Если рассмотреть заданное значение и выбрать ось z вдоль направления к, то преобразования (76,5) не будут затрагивать компоненты

Достаточно поэтому вычислить всего одну компоненту пользуясь при этом любой калибровкой потенциалов.

Воспользуемся калибровкой, в которой и оператор А дается разложением

(индекс нумерует поляризации). Из всех средних по вакууму значений произведений операторов отличны от нуля лишь

По определению (76,1) получим поэтому

( — трехмерные векторные индексы; от суммирования по к мы перешли к интегрированию по . Тот факт, что в показателе экспоненты стоит абсолютное значение разности есть следствие хронологизации произведения операторов в (76,1).

Из (76,7) видно, что подынтегральное выражение без множителя есть компонента трехмерного разложения Фурье функции Для она равна

Для нахождения осталось разложить эту функцию в интеграл Фурье по времени. Это разложение дается формулой

Как было объяснено в предыдущем параграфе, такое интегрирование подразумевает обход полюсов соответственно снизу и сверху; при интеграл определяется вычетом в полюсе а при — вычетом в полюсе

Таким образом, находим окончательно

Появление в знаменателе, к которому в изложенном выводе мы пришли автоматически, совпадает с правилом (75,15): из (равной нулю) массы фотона вычитается Ю. Из (76,8) видно, что соответствующая координатная функция удовлетворяет уравнению

т. е. является функцией Грина волнового уравнения.

Мы будем обычно полагать т. е. пользоваться функцией распространения в виде

(76,10)

(калибровка Фейнмана).

Укажем также другие способы калибровки, которые могут представить определенные преимущества в некоторых применениях.

Положив получим пропагатор в виде

(калибровка Ландау). При этом . Такой выбор аналогичен лоренцевой калибровке потенциалов

Калибровке потенциалов трехмерным условием аналогична калибровка пропагатора условиями

Вместе с равенством эти условия дают

(76,12)

Для того чтобы получить такое надо произвести над пропагатором (76,10) преобразование (76,5), положив

При этом для остальных компонент D получается

(76,13)

Такую калибровку называют кулоновой (Е. Salpeter, 1952); отметим, что здесь — компонента Фурье кулонова потенциала.

Наконец, калибровке потенциалов условием аналогична калибровка пропагатора, в которой

(76,14)

Эта форма оказывается удобной для применения в нерелятивистских задачах (И. Е. Дзялошинский, Л. П. Питаевский, 1959).

Все выписанные выражения относятся к импульсному представлению пропагатора. В некоторых случаях удобно пользоваться смешанным частотно-координатным представлением, т. е. функцией

(76,15)

В фейнмановской калибровке (76,10)

где

или, после замены во втором слагаемом подынтегрального выражения:

Последнее интегрирование производится путем замыкания контура интегрирования бесконечно удаленной полуокружностью в верхней полуплоскости комплексной переменной k и сводится к взятию вычета в полюсе . Окончательно получим

(76,16)

В связи с этим выражением сделаем следующее замечание. Описываемый диаграммами (73,13-14) процесс можно рассматривать наглядно как рассеяние электрона 2 в поле, создаваемом электроном 1 (или наоборот). Функция (76,16) соответствует обычному «запаздывающему» потенциалу (см. II (64,1-2)) только при Знак , однако, зависит от условного выбора направления стрелки k на диаграмме. Отмеченное свойство функции означает, что в квантовой электродинамике следует считать источником поля ту из частиц, которая отдает энергию, т. е. испускает виртуальный фотон.

В заключение остановимся на вопросе о пропагаторе частиц со спином 1, но с отличной от нуля массой. В этом случае калибровочный произвол отсутствует и выбор пропагатора однозначен.

Подставив -операторы (14,16) в определение

получим выражение, отличающееся от (76,7) лишь заменой стоящей в подынтегральном выражении суммы по поляризациям на

Суммирование по поляризациям эквивалентно усреднению с последующим умножением на 3 — число независимых поляризаций. Усреднение дает матрицу плотности неполяризованных частиц (14,15). Таким образом, в результате найдем следующее выражение для пропагатора векторных частиц:

(76,18)

Обратим внимание на аналогичную структуру пропагаторов (75,17) и (76,18): в знаменателе стоит разность а числитель есть, с точностью до множителя, матрица плотности неполяризованных частиц с данным спином.