§ 108. Тождество Уорда

Еще одна связь между фотонным пропагатором и вершинной частью, более простая, чем уравнение Дайсона, возникает как следствие калибровочной инвариантности.

Для ее вывода совершим калибровочное преобразование (102,8), предполагая бесконечно малой простой (неоператорной) функцией 4-координат Тогда электронный пропагатор изменится на величину

(108,1)

Подчеркнем, что калибровочное преобразование такого вида нарушает пространственно-временную однородность и функция 89 зависит уже от аргументов по отдельности, а не только от разности Ее разложение Фурье происходит поэтому по переменным в отдельности. Другими словами, в импульсном представлении является функцией двух 4-импульсов:

Подставив сюда (108,1) и произведя интегрирование по или получим

(108,2)

С другой стороны, при том же калибровочном преобразовании к оператору добавляется функция

(108,3)

которую можно рассматривать как бесконечно малое внешнее поле. В импульсном представлении:

(108,4)

Величину можно вычислить и как изменение пропагатора под влиянием этого поля. С точностью до величин первого порядка по это изменение изобразится, очевидно, одной скелетной диаграммой:

Здесь жирный пунктир — эффективная линия внешнего поля, т. е. ей сопоставляется множитель (см. (103,15))

Но 4-вектор продолен (по отношению к q), а тензор поперечен. Поэтому второй член здесь обращается в нуль, так что остается

где тонкому пунктиру сопоставляется обычным образом просто поле . В аналитической форме:

(108,6)

Подставив сюда (108,4) и сравнив с (108,2), находим соотношение

или для обратных матриц

(108,7)

Устремив в этом равенстве и сравнив коэффициенты при бесконечно малом в обеих его сторонах, получим

(108,8)

Это — так называемое тождество Уорда (J. С. Ward, 1950). Мы видим, что производная по импульсу от совпадает с вершинным оператором при нулевой передаче импульса. Производная же от самой функции

(108,9)

Аналогичным образом можно было бы найти также и высшие производные, проводя вычисления с точностью до членов более высоких порядков по Нам такие формулы, однако, не понадобятся.

Рассмотрим теперь производную от поляризационного оператора. В отличие от функции величина калибровочно-инвариантна и не меняется при введении фиктивного внешнего поля (108,4). Поэтому производную от нельзя вычислить тем же способом. Однако и для нее можно получить определенное диаграммное выражение.

Для этого рассмотрим первую из диаграмм, входящих в определение диаграмму второго порядка

(108,10)

Сплошным линиям в ней отвечают множители Дифференцирование по k заменит второй из них на а согласно тождеству (108,9) такая замена эквивалентна добавлению лишней вершины на электронной линии:

(108,11)

Мы видим, что в первом неисчезающем порядке искомая производная выразилась через диаграмму с тремя фотонными концами («фотонная треххвостка»). Сразу же подчеркнем, что эта диаграмма сама по себе отнюдь не дает амплитуду превращения одного фотона в два. Амплитуда такого процесса выразилась бы суммой диаграммы (108,11) и другой такой же диаграммы с измененным направлением обхода петли; согласно теореме Фарри эта сумма обращается в нуль. Сама же по себе диаграмма (108,11) не равна нулю.

Подобным образом можно дифференцировать и более сложные диаграммы, последовательно добавляя вершины с на все электронные линии, зависящие от k. Существуют, однако, диаграммы, в которых зависимость от k имеется и во внутренних фотонных линиях, например диаграмма слева на рисунке

Производная от графика в фигурной скобке представлена здесь в диаграммном виде путем введения нового графического обозначения — фиктивной трехчастичной фотонной вершины — точки, в которой сходятся три пунктира и которой сопоставляется величина

Теперь можно дифференцировать любой график, добавляя на зависящие от k линии вершины у, или и вычисляя далее по общим правилам. Суммируя эти высшие поправки, получаем

где — сумма внутренних частей всех полученных указанным способом «фотонных треххвосток».

Для дальнейшего нам понадобится еще и вторая производная поляризационного оператора. Аналогичным образом дифференцируя еще раз равенство (108,13), имеем

(108,14)

где — сумма внутренних частей всех «фотонных четырех-хвосток» вида

(108,15)

(разумеется, с включением и графиков с фиктивными трехфотонными вершинами (108,12)).