§ 115. Вычисление мнимой части поляризационного оператора по интегралу Фейнмана

При прямом вычислении по диаграмме (петля на диаграмме

(113.1)) поляризационный оператор в первом приближении теории возмущений давался бы интегралом

(115,1)

Однако этот интеграл, взятый по всему четырехмерному -пространству, квадратично расходится и для получения конечного результата должен быть регуляризован по описанным в § 112 правилам.

Мы не будем воспроизводить здесь полностью такой вывод, но покажем, каким образом можно вычислить по интегралу (115.1) мнимую часть поляризационного оператора (которая была определена нами в § 113 с помощью условия унитарности); этот вывод содержит в себе ряд поучительных моментов.

Мнимая часть интеграла (115,1) не содержит расходимости и не требует поэтому регуляризации. Для скалярной функции имеем

После вычисления следа интеграл принимает вид

Пусть . Переходим к системе отсчета, в которой В этой системе

Введя также обозначение ( не совпадает с «энергией» виртуального электрона ), перепишем (115,2) в виде

Подынтегральное выражение имеет четыре полюса по переменной

Ha рис. 2 показано расположение этих полюсов; для определенности будем считать, что (окончательный ответ есть функция от и от знака не зависит). Вычислим скачок функции испытываемый ею на разрезе в плоскости комплексной переменной или, что то же самое, на вещественной оси в плоскости комплексного Вещественная часть функции непрерывна на разрезе, так что скачок

(115,4)

Рис. 21

Прежде всего покажем, каким образом уже по виду интеграла можно установить положение разреза. Обозначим в (115,3) интеграл по как ко). До тех пор, пока верхние и нижние полюсы на рис. 21 находятся на конечных расстояниях друг от друга, путь интегрирования по можно увести вдаль от полюсов (пунктирная линия на рисунке). В этом случае интеграл не изменится при бесконечно малом смещении полюсов b и вниз или вверх от вещественной оси, т. е. при замене

Другими словами, значения при стремлении к своему вещественному значению сверху и снизу будут одинаковы, так что не даст вклада в скачок Ситуация изменится, лишь если два полюса (при это могут быть полюсы а и ) окажутся как раз один под другим, так что контур интегрирования будет «зажат» между ними и не сможет быть уведен. Таким образом, скачок , лишь если где-либо в области интегрирования по может быть выполнено условие . Для этого, очевидно, должно быть

Перепишем интеграл в виде

опустив члены в знаменателе и соответственно изменив контур С интегрирования, как показано на рис. 22.

Рис. 22

Мы видим, что возникновение скачка связано с невозможностью увода контура от полюса а (когда контур зажат между а и ). Имея это в виду, заменим контур С контуром С, проходящим под точкой а, соответственно добавив интеграл по малой окружности С вокруг этой точки. После этого контур С можно беспрепятственно увести от полюсов, так что интегрирование вдоль него дает вклад лишь в регулярную часть функции t). Для определения же искомого скачка достаточно рассматривать лишь интеграл по окружности что сводится к взятию вычета в полюсе а. Эта операция может быть осуществлена заменой в подынтегральном выражении:

(115,6)

(знак связан с тем, что окружность вокруг полюса обходится в отрицательном направлении).

При этом следует учитывать в аргументе -функции лишь корень (обходится лишь полюс а, но не а); это условие будет автоматически учтено, если условиться производить интегрирование лишь по половине импульсного 4-пространства:

После замены (115,6) скачок интеграла вычисляется непосредственно:

Используя равенство

(см. (111,3)), получаем

Аргументы -функций можно переписать в инвариантном виде, вычитая и прибавляя к ним

После этого находим окончательно

(115,7)

Ввиду наличия -функций интегрирование производится фактически лишь в области пересечения гиперповерхностей

(115,8)

Поскольку в этой области все 4-векторы времениподобны, то условие интегрирования по имеет инвариантный характер (верхняя полость конуса ).

Сравним (115,7) с исходной формулой (115,2). Мы видим, что скачок функции на разрезе в плоскости t можно получить, если в исходном фейнмановском интеграле произвести замену

(115,9)

в пропагаторах, отвечающих пересеченным на диаграмме (113,1) линиям петли (S. Mandelstam, 1958, R. Cutkosky, 1960).

Обратим внимание на то, что условия (115,8) выделяют ту область импульсного пространства, в которой линии виртуальных частиц на диаграмме отвечают реальным частицам (или, как говорят, 4-импульсы лежат на массовой поверхности). Здесь ясно видна связь с методом соотношения унитарности, в котором эти же линии заменялись на линии реальных частиц промежуточного состояния.

Мы видим также математическую причину отсутствия расходимости в мнимой части диаграммы: она определяется интегрированием по конечной области массовой поверхности вместо интегрирования по всему бесконечному импульсному 4-пространству в исходном фейнмановском интеграле.

Чтобы получить теперь из (115,7) выведенную в § 113 формулу, вернемся к системе отсчета, в которой и проведем интегрирование по

Интегрирование сводится к снятию -функций. При этом

и затем

В результате получим

(115,10)

где а значение функции берется при

т. e. равно

и не зависит от угла. Поэтому интегрирование по сводится к умножению на и мы возвращаемся к (113,8).

В изложенном выводе существен только тот факт, что диаграмма рассекается на две части путем пересечения всего двух линий. Поэтому сформулированное правило остается в силе и для диаграмм, составленных из любых двух блоков, соединенных двумя (электронными или фотонными) линиями. Интеграл, вычисленный путем замены (115,9), определит при этом тот вклад в мнимую часть диаграммы, который в методе соотношения унитарности связан с соответствующим двухчастичным промежуточным состоянием.

§ 116. Электромагнитные формфакторы электрона

Рассмотрим вершинный оператор в случае, когда две электронные линии являются внешними, а фотонная — внутренней. Электронным внешним линиям отвечают множители так что Г входит в выражение для диаграммы в виде произведения

(116,1)

Как уже отмечалось в § III, оно представляет собой электронный ток перехода с учетом радиационных поправок. Требования релятивистской и калибровочной инвариантности позволяют установить общий вид матричной структуры этого тока.

Оператор электромагнитного взаимодействия — истинный скаляр (а не псевдоскаляр), чем выражается сохранение пространственной четности в этих взаимодействиях. Поэтому ток перехода — истинный 4-вектор (а не псевдовектор). Он может выражаться, следовательно, только через истинные же 4-векторы, составленные из имеющихся в нашем распоряжении двух 4-векторов (третий ) и биспиноров и Таких независимых 4-векторов, билинейных по всего три:

или, что то же,

(116,2)

где Но условие калибровочной инвариантности требует поперечности тока перехода к 4-импульсу фотона

(116,3)

Этому условию удовлетворяют первые два из 4-векторов (116,2): первый в силу уравнений Дирака

(116,4)

а второй — потому, что . Ток представляется линейной комбинацией этих двух 4-векторов:

где — инвариантные функции; их называют электромагнитными формфакторами электрона.

Так как 4-импульсы относятся к свободному электрону, то и из трех 4-векторов (связанных равенством ) можно составить всего одну независимую скалярную переменную, в качестве которой выберем Тогда формфакторы — функции

Выражение для тока можно представить и в других видах, с другим выбором двух независимых членов. Использовав уравнения (116,4) и правила коммутации матриц у, легко убедиться, что

(116,5)

где Коэффициент при таком члене имеет, как мы увидим, важный физический смысл, так что будем писать

(116,6)

где f, g — два других формфактора; смысл выделения множителя выяснится ниже. Для краткости мы пишем вместо тока вершинный оператор, подразумевая, что он должен браться «в обкладках»

Для выяснения свойств формфакторов рассмотрим диаграмму (110,16) процесса взаимодействия электрона с внешним полем. Соответствующая ей амплитуда рассеяния

(116,7)

где — эффективное (с учетом поляризации вакуума) внешнее поле.

Амплитуда (116,7) описывает два канала реакции. В канале рассеяния инвариантная переменная

Заменив же мы перейдем к аннигиляционному каналу, отвечающему рождению пары с 4-импульсами . В этом канале

Область же значений — нефизичесмя.

Обратимся к условию унитарности (111,12). В канале рассеяния нет в данном случае физических промежуточных состояний: один свободный электрон не может изменить свой импульс или родить какие-либо другие частицы. Нет их, конечно, и в нефизической области. Поэтому при правая сторона в равенстве (111,12) отсутствует, так что матрица (или, что то же, ) эрмитова:

Перестановка начального и конечного состояний означает перестановку а тем самым замену . Представив в виде (116,7), имеем поэтому

Но так что отсюда следует, что матрица, токов перехода тоже эрмитова:

(116,8)

Используя свойства матриц у (21,7), легко проверить, что

Поэтому отличается от лишь заменой функций комплексно-сопряженными. Из равенства (116,8) следует тогда, что эти функции вещественны. Таким образом,

В аннигиляционном же канале состояние f — пара, которая может превратиться в пару же с другими импульсами (упругое рассеяние) или в какую-либо более сложную систему. Поэтому правая часть условия унитарности отлична от нуля, матрица (а с нею и ) эрмитова, а потому формфакторы комплексны.

Аналитические свойства функций вполне аналогичны рассмотренным в § 111 свойствам функции t) (хотя это и затруднительно доказать столь же прямым способом). Эти функции аналитичны в комплексной плоскости t, разрезанной вдоль положительной вещественной оси причем

Условие перенормировки (110,19), примененное к вершинному оператору (116,6), приводит к требованию

(116,10)

Для того чтобы автоматически учесть это условие (при вычислении функции ) по ее мнимой части), надо применить дисперсионное соотношение вида (111,8) не к самой функции Тогда получим дисперсионное соотношение «с одним вычитанием»:

Для формфактора же никакие значения физическими требованиями заранее не предписываются.

Поэтому для него дисперсионное соотношение пишется «без вычитаний»;

Значение имеет важный физический смысл: оно дает поправку к магнитному моменту электрона. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим рассеяние нерелятивистского электрона в постоянном, медленно меняющемся в пространстве магнитном поле.

Член в амплитуде рассеяния (116,7), связанный с формфактором имеет вид

Для чисто магнитного поля ; постоянство поля во времени означает, что -вектор к), а медленному изменению поля в пространстве отвечают малые к (имея в виду дальнейший переход к пределу сразу пишем в (116,13) вместо эффективного ). Раскрыв выражение (116,13) и выразив его через трехмерные величины, получим

где 2 — матрица (21,21). Произведение заменяем напряженностью магнитного поля после чего можно перейти к пределу Наконец, введя нерелятивистские спинорные амплитуды согласно (23,12):

находим окончательно

(116,14)

Сравним это выражение с амплитудой рассеяния в постоянном электрическом поле со скалярным потенциалом

Мы видим, что электрону в магнитном поле можно приписать дополнительную потенциальную энергию

Это значит, что электрон обладает «аномальным» магнитным моментом

(116,13)

(обычные единицы) в дополнение к «нормальному» дираковскому магнитному моменту