§ 35. Движение в центрально-симметричном поле

Рассмотрим движение электрона в центрально-симметричном электрическом поле.

Поскольку при движении в центральном поле сохраняются момент и четность (относительно центра поля, выбранного в качестве начала координат), к угловой зависимости волновых функций такого движения относится все сказанное в § 24 по поводу сферических волн свободных частиц. Меняются лишь радиальные функции. Соответственно "этому будем искать волновую функцию стационарных состояний (в стандартном представлении) в виде

где — а степень — 1 введена для упрощения последующих формул.

Уравнение Дирака в стандартном представлении дает следующую систему уравнений для

где — потенциальная энергия электрона в поле. Вычисление результата подстановки сюда выражений (35,1) сводится к вычислению правых сторон этих уравнений.

Выражая шаровой спинор через согласно

(см. (24,8)), пишем:

Преобразовав теперь произведение с помощью формулы (33,5), найдем после раскрытия векторных операций

где — оператор орбитального момента; штрих означает дифференцирование по . Собственные значения произведения равны

Для единообразия записи формул в обоих случаях удобно ввести обозначение

Число пробегает все целые значения, исключая значение О (причем положительные числа отвечают случаю а отрицательные — случаю Тогда , так что

При подстановке этого выражения в первое из уравнений (35,2) шаровой спинор в обеих сторонах уравнения сокращается. Поступив аналогичным образом и со вторым уравнением, получим в результате следующую систему для радиальных функций:

или

Исследуем поведение f и g на малых расстояниях, предположив, что поле возрастает при быстрее, чем Тогда в области малых уравнения (35,4) принимают вид

Они имеют вещественные решения вида

(35,6)

где — произвольная постоянная. Эти функции осциллируют при не стремясь ни к какому пределу. Легко видеть, что такая ситуация соответствует в нерелятивистской теории «падению» частицы на центр.

Прежде всего отметим, что область малых расстояний не накладывает в этом случае ограничений на выбор решения: условие при для осциллирующей функции отсутствует и выбор постоянной б рстается произвольным (правильного же поведения волновой функции в области больших можно добиться при любом надлежащим выбором ). Можно устранить эту неопределенность, рассматривая сингулярный (при потенциал как предел при потенциала, «обрезанного» на некотором (т. е. равного ) при при При конечном получается, разумеется, определенная система уровней энергии. Однако энергия основного состояния стремится к при .

В нерелятивистской теории это как раз и означает «падение» на центр, поскольку частица на глубоком уровне локализована в малой области вокруг . В релятивистской же теории такая ситуация вообще недопустима, так как означает неустойчивость системы относительно самопроизвольного рождения электрон-позитронных пар. Действительно, если в вакууме для рождения такой пары нужна энергия, превышающая то в поле достаточна уже меньшая энергия. При наличии связанного состояния электрона с энергией возможно рождение пары с затратой лишь энергии причем рождаются свободный позитрон и электрон в связанном состоянии. Если же энергия уровня связанного состояния то такое поле может рождать позитроны (с энергией самопроизвольно, без затраты энергии от внешнего источника. В рассматриваемом же поле при имеется бесконечное множество таких «аномальных» уровней . Поэтому поля с потенциалом возрастающим при быстрее, чем в теории Дирака вообще нельзя рассматривать. Подчеркнем, что это относится к потенциалам обоего знака. «Падение» происходит, конечно, лишь в случае притяжения, но поскольку знак зависит также и от знака заряда, то в одном случае аномально ведут себя электронные, а в другом — позитронные уровни; во втором случае поле рождает свободные электроны.

Рассмотрим далее поведение волновых функций на больших расстояниях. Если поле достаточно быстро убывает при то при определении асимптотического вида волновых функций на больших расстояниях можно полностью пренебречь полем в уравнениях.

При т. е. в области непрерывного спектра, мы возвращаемся тогда к уравнению свободного движения, так что асимптотическая форма волновых функций (сферических волн) отличается от таковой для свободной частицы лишь появлением дополнительных «фазовых сдвигов», значения которых определяются видом поля на близких расстояниях. Эти сдвиги зависят от значений или что то же, от введенного выше числа (а также, разумеется, и от энергии ). Обозначив их посредством в и используя выражение свободной сферической волны (24,7), мы можем сразу написать искомую асимптотическую формулу

или, с учетом определения (35,1):

где Общий коэффициент здесь отвечает нормировке радиальных функций согласно (24,5).

Волновые же функции дискретного спектра при экспоненциально затухают по закону

где — постоянная.

Как и в нерелятивистской теории, фазовые сдвиги 6 (точнее, величины определяют амплитуду рассеяния в данном поле (об этом будет подробнее идти речь в § 37). Мы не станем исследовать здесь аналитические свойства этих величин (ср. III, § 128). Отметим лишь, что как функция энергии по-прежнему имеет полюсы в точках, соответствующих уровням связанных состояний частицы. Вычет функции в таком полюсе определенным образом связан с коэффициентом в асимптотическом выражении соответствующей волновой функции дискретного спектра. Найдем эту связь, обобщающую нерелятивистскую формулу III (128,17). Необходимые вычисления вполне аналогичны произведенным в III, § 128.

Продифференцируем уравнения {35,5) по энергии:

Умножим эти два уравнения соответственно на и на , а два уравнения (-соответственно на и на после чего все четыре уравнения сложим почленно. После всех сокращений получим

Интегрируем это равенство по :

после чего переходим к пределу . В силу условия нормировки интеграл в правой стороне равенства обращается в единицу. В левой же стороне учтем, что в асимптотической области функции связаны равенством

получающимся из (35,5) при пренебрежении членами с V и с . В результате получим

Эта формула лишь коэффициентом вместо отличается от аналогичной нерелятивистской формулы (для функции Поэтому нет необходимости повторять все дальнейшие вычисления, и мы сразу приведем окончательную формулу, справедливую вблизи точки ( — уровень энергии):

(35,11)

где — коэффициент в асимптотическом выражении (35,9). Задача

Найти предельный вид волновой функции при малых в поле

Решение. Для свободной частицы имеем при малых так что при а при .

Делаем предположение (оправдывающееся результатом), что такое соотношение сохраняется и в рассматриваемом поле. При в перво из уравнений (35,4) член с g можно опустить, так что по-прежнему . Из второго же уравнения имеем тогда

Аналогичным образом рассматривается случай . В результате находим