§ 34. Тонкая структура уровней атома водорода

Определим релятивистские поправки к уровням энергии атома водорода — электрона в кулоновом поле неподвижного ядра. Скорость электрона в атоме водорода Поэтому искомые поправки можно вычислить путем применения теории возмущений — как среднее по невозмущенному состоянию (т. е. по нерелятивистской волновой функции) от релятивистских членов в приближенном гамильтониане (33,12). Для несколько большей общности положим заряд ядра равным , предполагая при этом, однако, что и .

Напряженность поля ядра , а его потенциал удовлетворяет уравнению . Подставив это в (33,12) (последние три члена), с учетом отрицательности заряда электрона получим оператор возмущения

Поскольку согласно нерелятивистскому уравнению Шредингера

( — невозмущенный уровень, — главное квантовое число), среднее значение

Эта величина, как и среднее значение второго члена в (34,1), вычисляется с помощью формул (см. III, § 36)

(последняя относится, к собственное значение

Наконец, усреднение третьего члена производится с помощью формул

Результат простого вычисления с использованием написанных формул может быть представлен во всех случаях (при всех j и ) в виде

Формула (34,4) и дает искомую релятивистскую поправку к энергии водородных уровней — энергию тонкой структуры. Напомним, что в нерелятивистской теории имеет место как вырождение по направлениям спина, так и кулоново вырождение по Тонкая структура (спин-орбитальное взаимодействие) снимает это вырождение, но не полностью, — остаются двукратно взаимно вырожденными уровни с одинаковыми но разными (невырожденными оказываются при этом лишь уровни с наибольшим возможным при заданном значением ). Таким образом, последовательность водородных уровней с учетом тонкой структуры такова;

Уровень с главным квантовым числом расщепляется на компонент тонкой структуры.

Напомним, что в нерелятивистской механике «случайное» вырождение уровней энергии в кулоновом поле связано с существованием специфического для этого поля закона сохранения: сохраняется величина А, оператор которой

(см. III (36,30)). Со специфическим законом сохранения связано и остающееся в релятивистском случае двукратное вырождение: гамильтониан уравнения Дирака коммутативен с оператором

(М. Н. Johnson, В. A. Llppmann, 1950). В нерелятивистском пределе этот оператор .

Мы увидим в дальнейшем (§ 123), что это оставшееся вырождение снимается так называемыми радиационными поправками (лэмбовский сдвиг), не учитываемыми уравнением Дирака одноэлектронной задачи.

Забегая вперед, укажем уже здесь, что по порядку величины эти поправки Поправка же второго порядка по спин-орбитальному взаимодействию была бы так что ее отноение к радиационным поправкам Для водорода это отношение заведомо мало, и потому задача о точном решении уравнения Дирака в этом случае не имеет смысла. Эта задача, однако, может иметь смысл для уровней энергии электрона в поле ядра с большим Z (см. § 36).