§ 34. Тонкая структура уровней атома водорода
Определим релятивистские поправки к уровням энергии атома водорода — электрона в кулоновом поле неподвижного ядра. Скорость электрона в атоме водорода
Поэтому искомые поправки можно вычислить путем применения теории возмущений — как среднее по невозмущенному состоянию (т. е. по нерелятивистской волновой функции) от релятивистских членов в приближенном гамильтониане (33,12). Для несколько большей общности положим заряд ядра равным
, предполагая при этом, однако, что и
.
Напряженность поля ядра
, а его потенциал удовлетворяет уравнению
. Подставив это в (33,12) (последние три члена), с учетом отрицательности заряда электрона получим оператор возмущения
Поскольку согласно нерелятивистскому уравнению Шредингера
(
— невозмущенный уровень,
— главное квантовое число), среднее значение
Эта величина, как и среднее значение второго члена в (34,1), вычисляется с помощью формул (см. III, § 36)
(последняя относится, к
собственное значение
Наконец, усреднение третьего члена производится с помощью формул
Результат простого вычисления с использованием написанных формул может быть представлен во всех случаях (при всех j и
) в виде
Формула (34,4) и дает искомую релятивистскую поправку к энергии водородных уровней — энергию тонкой структуры. Напомним, что в нерелятивистской теории имеет место как вырождение по направлениям спина, так и кулоново вырождение по
Тонкая структура (спин-орбитальное взаимодействие) снимает это вырождение, но не полностью, — остаются двукратно взаимно вырожденными уровни с одинаковыми
но разными
(невырожденными оказываются при этом лишь уровни с наибольшим возможным при заданном
значением
). Таким образом, последовательность водородных уровней с учетом тонкой структуры такова;
Уровень с главным квантовым числом
расщепляется на
компонент тонкой структуры.
Напомним, что в нерелятивистской механике «случайное» вырождение уровней энергии в кулоновом поле связано с существованием специфического для этого поля закона сохранения: сохраняется величина А, оператор которой
(см. III (36,30)). Со специфическим законом сохранения связано и остающееся в релятивистском случае двукратное вырождение: гамильтониан уравнения Дирака
коммутативен с оператором
(М. Н. Johnson, В. A. Llppmann, 1950). В нерелятивистском пределе этот оператор
.