§ 66. Кинематические инварианты

Рассмотрим некоторые кинематические соотношения для процессов рассеяния, в которых как в начальном, так и в конечном состояниях имеется всего по две частицы. Мы имеем в виду соотношения, являющиеся следствием одних лишь общих законов сохранения и потому справедливые вне зависимости от природы частиц и от законов их взаимодействия.

Запишем закон сохранения -импульса в общем виде, не предрешающем, которые из импульсов относятся к начальным, а которые — к конечным частицам:

Здесь — -векторы импульсов, причем два из них отвечают падающим частицам, а два — рассеянным; для последних импульсами являются — Другими словами, у двух из временная компонента , у двух

Наряду с сохранением -импульса должен соблюдаться закон сохранения заряда. При этом под зарядом можно понимать не только электрический заряд, но и другие сохраняющиеся величины, имеющие разный знак у частиц и античастиц.

При заданных видах участвующих в процессе частиц квадраты -векторов являются заданными квадратами масс частиц . В зависимости от значений, пробегаемых временными компонентами и от значений зарядов мы получим три разные реакции. Запишем эти три процесса так:

Здесь цифра означает номер частицы, а черта над цифрой отличает античастицу от частицы. Переходу от одной из реакций к другой, т. е. перенесению частицы из одной стороны формулы в другую, отвечает изменение знака соответствующей временной компоненты а также знака заряда, т. е. замена частицы античастицей. (Наряду с процессами (66,2) возможны, конечно, и обратные реакции.)

О трех процессах (66,2) говорят как о трех перекрестных (или кросс-) каналах одной (обобщенной) реакции.

Приведем несколько примеров. Если частицы 1 и 3 — электроны, а 2 и 4 — фотоны, то канал I представляет собой рассеяние фотона электроном; ввиду истинной нейтральности фотона канал III — то же, что I. Канал же II есть превращение электрон-позитронной пары в два фотона. Если все четыре частицы — электроны, то канал I — рассеяние электрона на электроне, а каналы II и III — рассеяние позитрона на электроне. Если частицы 1 и 3 — электроны, а 2 и 4 — мюоны, то канал I — рассеяние на канал III — рассеяние на , канал II — превращение пары её в пару

При рассмотрении процессов рассеяния особую роль играют инвариантные величины, которые можно составить из -импульсов. Их функцией являются инвариантные амплитуды рассеяния (см. § 70).

Из четырех 4-импульсов можно составить две независимые инвариантные величины. Действительно, в силу (66,1) всего три 4-вектора независимы; пусть это будут Из них можно составить шесть инвариантов: три квадрата и три произведения Но первые три есть заданные квадраты масс, а вторые три связаны одним соотношением, следующим из равенства

Для достижения большей симметрии удобно, однако, рассматривать не два, а три инварианта, в качестве которых выберем следующие:

Они связаны, как легко видеть, соотношением

где

В основном (I) канале инвариант s имеет простой физический смысл. Это есть квадрат полной энергии сталкивающихся частиц (1 и 2) в системе их центра инерции (при ). В канале II аналогичную роль играет инвариант t, а в канале III — инвариант . В связи с этим каналы I, II, III часто называют и -каналами.

Не представляет труда выразить инварианты s, t, и через энергии и импульсы сталкивающихся частиц в каждом из каналов. Рассмотрим -канал. В системе центра инерции частиц 1 и 2 временные и пространственные компоненты 4-векторов задаются следующим образом:

(индекс напоминает о том, что эти импульсы относятся к реакции в -канале). Тогда

(66,9)

В случае упругого рассеяния имеем так что Вместо (66,9) при этом получаются более простые формулы

где — угол между . Отметим, что инвариант —t представляет собой при этом квадрат переданного при столкновении (трехмерного) импульса.

Аналогичные формулы для других каналов получаются простым изменением обозначений. Для перехода к каналу надо произвести в (66,6-10) замену для перехода к -каналу — замену и, .