§ 126. Двойное дисперсионное соотношение

Следующим по сложности за вершинной частью с тремя внешними линиями является блок с четырьмя концами. В квантовой электродинамике возможны три такие простейшие диаграммы:

(126,1)

Первая из них описывает рассеяние фотона на фотоне. Остальные представляют собой отдельные члены радиационных поправок к рассеянию фотона на электроне (диаграмма б) и к рассеянию электрона на электроне (диаграмма в).

Этот параграф посвящен изучению некоторых общих свойств диаграмм такого рода. Но для упрощения и конкретности мы будем вести изложение применительно к определенной диаграмме — (126,1, а).

Импульсы линий такой диаграммы обозначим следующим образом:

(126,2)

4-импульсы отвечают реальным фотонам, так что их квадраты равны нулю.

Отделив зависимость от поляризаций фотонов, амплитуду соответствующую диаграмме (126,2), можно выразить через несколько скалярных функций 4-импульсов фотонов. Это — инвариантные амплитуды, о которых шла речь в § 70; конкретное выделение их для рассеяния фотона на фотоне будет произведено в следующем параграфе. Будучи скалярными, они зависят лишь от скалярных же переменных, в качестве которых можно выбрать, например, любые две из величин

(126,3)

ниже мы выбираем в качестве независимых s и t.

Каждую из инвариантных амплитуд (которые мы обозначим здесь той же буквой М) можно представить интегралом вида

(126,4)

где В— некоторая функция всех 4-импульсов; множители в знаменателе происходят от пропагаторов четырех виртуальных электронов.

При достаточно малых s и t амплитуды М вещественны (точнее, могут быть сделаны таковыми надлежащим выбором фазового множителя). Действительно, малость s обеспечивает невозможность рождения фотонами реальных частиц (электрон-позитронной пары) в -канале, а малость t — такую же невозможность в -канале.

Другими словами, в обоих каналах отсутствуют реальные промежуточные состояния, которые могли бы, согласно условию унитарности, привести к появлению мнимой части амплитуды.

Будем теперь увеличивать s при фиксированном (малом) значении t. При у амплитуды М появится мнимая часть, связанная с возможностью рождения пары двумя фотонами в -канале. Поэтому для М можно написать дисперсионное соотношение «по переменной

где обозначает мнимую часть

Как и для всякой диаграммы вида

вычисляется по правилу (115,9) заменой в интеграле (126,4) соответствующих полюсных множителей -функциями:

(126.6)

причем интегрирование производится по половине пространства, в которой

Мы можем сделать существенный дальнейший шаг, заметив, что интеграл (126,6) имеет структуру (в смысле своих полюсных множителей) того же типа, что и амплитуда реакции, изображающейся диаграммой вида

Поэтому и аналитические свойства как функции от t подобны аналитическим свойствам этой амплитуды. В частности, у функции может появиться (при увеличении t) мнимая часть только тогда, когда оба множителя в знаменателе будут одновременно обращаться в нуль. Это, однако, не произойдет сразу же после достижения значения — порога рождения пары в канале.

Дело в том, что наличие -функций в подынтегральном выражении ограничивает область интегрирования в пространстве, которая может оказаться несовместимой со значением Протяженность области интегрирования зависит от значения s (аргументы -функций содержат ). Поэтому зависит от s и граничное значение за которым функция становится комплексной.

Подобно тому как функция выражается через свою мнимую часть формулой (126,5), функция в свою очередь выражается через дисперсионным соотношением «по переменной

(126,7)

Подставив теперь (126,7) в (126,5), получим двойное дисперсионное соотношение, или представление Мандельстама для амплитуды

(126,8)

Функцию называют двойной спектральной плотностью функции M(s,t). Ее можно получить из интеграла (126,6) повторным применением к нему правила замены (115,9). Обозначив для краткости

получим

(126,10)

причем интегрирование производится по области

Следует, однако, иметь в виду, что формула (126,10) имеет лишь символический смысл. Дело в том, что область — нефизическая. Соответственно в этой области величины при вещественных q оказываются, вообще говоря, комплексными; понятие же -функции при комплексных значениях аргумента не является полностью определенным. Точнее было бы говорить прямо о взятии вычетов в соответствующих полюсах исходного интеграла (126,4). В нашем случае это, однако, не играет роли. Условие обращения в нуль четырех знаменателей в (126,4) или четырех аргументов -функций полностью определяет компоненты 4-вектора q.

Переходя к интегрированию по (см. ниже) и формально оперируя с интегралом (126,10) по обычным правилам, мы найдем (с точностью до знака) выражение для

Для дальнейших вычислений выберем систему центра инерции (в -канале). Тогда

(126,12)

где — угол между (угол рассеяния). Ось пространственных декартовых координат направим по вектору , а ось у — по ).

Преобразуем теперь интеграл (126,10), выбрав квадраты , в качестве новых переменных интегрирования (вместо четырех компонент q). Имеем

поэтому якобиан преобразования

где D — определитель, составленный из 16 компонент -векторов Интегрирование в (126,10) сводится просто к замене функций В и D в подынтегральном выражении их значениями при

(126,13)

Из условий получаем, как и в § 115,

(126,14)

Остальные два условия дают

так что

или в компонентах:

Таким образом, интеграл (126,10) равен

(126,16)

где суммирование производится по двум значениям q из (126,15).

Определитель D можно записать с помощью единичного антисимметричного тензора:

(при преобразованиях использована антисимметрия ). Заметив, что из четырех множителей временную компоненту имеет только находим

Раскрыв это выражение при и затем продолжив к получим

(126,17)

Выбор знака в этом выражении можно произвести на основании следующих соображений. Положим для простоты Тогда видно, что в физической области имеем Действительно, оба знаменателя в подынтегральном выражении в (126,6) имеют одинаковый (отрицательный) знак:

(здесь использовано, что, в силу наличия двух -функций в числителе, имеет место (126,14) и потому видно тогда, что отрицательна должна быть и функция при (если учесть, что, согласно (126,16), эта функция знакопостоянна).

Это значит, что в (126,17) надо выбрать верхний знак, так что окончательно

(126,18)

Так как по своему смыслу функция должна быть вещественна, то кроме положительности s и t имеется еще условие положительности выражения в квадратных скобках в знаменателе:

(126,19)

Эти неравенства определяют область, по которой должно производиться интегрирование в двойном дисперсионном интеграле (126.8) (заштрихована на рис. 23). Ее границей является кривая

с асимптотами

Дисперсионные соотношения в форме (126,5) и (126,8) еще не учитывают условий перенормировки, и при буквальном их применении интегралы оказались бы расходящимися и требовали бы регуляризации. Условие перенормировки для амплитуд заключается в требовании

(126,20)

Действительно, амплитуда рассеяния фотона на фотоне должна обращаться в нуль, когда (а потому и поскольку означает постоянный во времени и пространстве потенциал, которому не отвечает никакое физическое поле (мы еще обсудим это условие более детально в следующем параграфе).

Рис. 23

Для автоматического учета этого условия надо написать дисперсионное соотношение «с вычитанием» (подобно переходу от (111.8) к (111,13)). Мы придем к такому соотношению естественным образом, произведя сначала тождественное преобразование соотношения (126,8) с помощью тождества

Подставив его в подынтегральное выражение в (126,8), получим

где

Последние равенства, однако, имели бы смысл лишь при условии сходимости всех интегралов. В противном же случае функциям и постоянной С должны быть предписаны заранее заданные значения, соответствующие условию перенормировки. Именно надо положить

где — мнимая часть появляющаяся при увеличении t при заданном малом s, подобно тому как — мнимая часть, появляющаяся при увеличении s при заданном малом t. Первое из этих равенств очевидно: Второе (и аналогичным образом третье) следует из сравнения равенства

с однократным дисперсионным соотношением (126,5), написанным «с вычитанием», отвечающим условию (126,20):

Таким образом, окончательное двойное дисперсионное соотношение «с вычитанием»:

Если значения s, t сами лежат в области интегрирования, то интегралы (126,21-22), как всегда, надо понимать как предел при

(126,23)