§ 15. Волновое уравнение для частиц с высшими целыми спинами

Поскольку волновые уравнения (14,3-4) следуют непосредственно из задания массы и спина частицы, практическое использование лагранжиана сводится не столько к выводу этих уравнений, сколько к построению выражений для энергии, импульса и заряда поля.

Для этой цели, как уже отмечалось, можно пользоваться вместо (14,5) выражением (14,7), а последнее можно преобразовать еще дальше. Использовав (14,1), переписываем (14,7) в виде

В силу (14,3) последний член обращается в нуль, а предпоследний есть полная производная. Опустив ее, получим лагранжиан

Он имеет ту же структуру, что и лагранжиан (10,9) частицы со спином 0, отличаясь лишь заменой скаляра на 4-вектор и общим знаком. Последнее связано с тем, что — пространственноподобный вектор, так что в то время как для скалярной частицы

Если построить 4-тензор энергии-импульса и 4-вектор тока с помощью лагранжиана (15,1), то мы получим выражения того же вида, что и выражения (10,12) и (10,18) для скалярного поля:

Их отличие от (14,8) и (14,10) тоже сводится к полным производным. Но локальные значения этих величин не имеют (как уже подчеркивалось ранее) глубокого физического смысла. Существенны лишь объемные интегралы (10,15) и Q (10,19), которые будут совпадать при обоих выборах и

Такой способ описания непосредственно обобщается на частицы с произвольным (целым) спином. Волновая функция частицы со спином s есть неприводимый 4-тензор ранга s, т. е. тензор, симметричный по всем своим индексам и обращающийся в нуль при упрощении по любой паре индексов:

Этот тензор должен удовлетворять дополнительному условию 4-поперечности:

а каждая из его компонент — уравнению второго порядка:

В системе покоя условие (15,5) приводит к обращению в нуль всех компонент 4-тензора, среди индексов которых есть 0. Другими словами, волновая функция в системе покоя (т. е. в нерелятивистском пределе) сводится, как и следовало, к неприводимому 3-тензору ранга s, число независимых компонент которого равно

Лагранжиан, тензор энергии-импульса и вектор тока для поля частиц со спином s отличаются от (15,1-3) лишь заменой на

Нормированная плоская волна:

причем амплитуда волны удовлетворяет условиям

Имеется независимых состояний поляризации.

Квантование поля производится очевидным обобщением случаев спина 0 или 1.

Изложенная схема вполне достаточна для поставленной цели — описания поля свободных частиц. Иное дело, если ставить задачу об описании взаимодействия частиц с электромагнитным полем. Это взаимодействие должно было бы вводиться в лагранжиан, из которого все уравнения могли бы быть получены без необходимости постановки дополнительных условий.

Однако фактически оказывается, что такое описание взаимодействия применимо только для электронов — частиц со спином (см. § 32). Поэтому для других спинов эта задача могла бы иметь лишь методический интерес.

Отметим, что для всех (целых и полуцелых) спинов оказывается невозможным сформулировать вариационный принцип с помощью одной только функции (тензорной или спинорной), ранг которой соответствует данному спину. Для этой цели оказывается необходимым ввести в качестве вспомогательных также тензорные или спинорные величины более низкого ранга. При этом лагранжиан подбирается таким образом, чтобы эти, вспомогательные величины автоматически обращались в нуль в силу следующих из вариационного принципа уравнений поля свободных частиц.