ГЛАВА II. БОЗОНЫ

§ 10. Волновое уравнение для частиц со спином 0

В гл. 1 было показано, каким образом можно построить квантовое описание свободного электромагнитного поля, отправляясь при этом от известных свойств поля в классическом пределе и опираясь на представления обычной квантовой механики. Полученная таким образом схема описания поля как системы фотонов несет в себе многие черты, которые переносятся и на релятивистское описание частиц в квантовой теории.

Электромагнитное поле представляет собой систему с бесконечным числом степеней свободы. Для нее не существует закона сохранения числа частиц (фотонов), и в ряду его возможных состояний имеются состояния с произвольным числом частиц. Но таким же свойством должны, вообще говоря, обладать в релятивистской теории также и системы любых частиц. Сохранение числа частиц в нерелятивистской теории связано с законом сохранения массы: сумма масс (масс покоя) частиц не меняется при их взаимодействии; сохранение же суммы масс, скажем, в системе электронов означает неизменность также и их числа. В релятивистской же механике закона сохранения массы не существует; должна сохраняться лишь полная энергия системы (включающая в себя также и энергии покоя частиц). Поэтому число частиц уже не должно сохраняться и тем самым всякая релятивистская теория частиц должна быть теорией систем с бесконечным числом степеней свободы. Другими словами, такая теория частиц приобретает характер теории поля.

Адекватным математическим аппаратом для описания систем с переменным числом частиц является аппарат вторичного квантования (см. III, § 64, 65). В квантовом описании электромагнитного поля в роли оператора вторичного квантования выступает 4-потенциал А. Он выражается через (координатные) волновые функции отдельных частиц (фотонов) и операторы их рождения и уничтожения. Аналогичную роль в описании системы частиц играет оператор квантованной волновой функции.

Для его построения надо прежде всего знать вид волновой функции одной свободной частицы и уравнения, которому эта функция подчиняется.

Следует подчеркнуть вспомогательный характер понятия поля свободных частиц. Реальные частицы взаимодействуют, и задача теории состоит в изучении этих взаимодействий. Но всякое взаимодействие сводится к столкновению, до и после которого систему можно рассматривать как совокупность свободных частиц. В § 1 отмечалось, что это — единственно измеримые объекты. Поэтому мы пользуемся полями свободных частиц как средством описания начальных и конечных состояний.

Мы начнем релятивистское описание свободных частиц со случая частиц со спином 0. Математическая простота этого случая позволит наиболее ясно выявить основные идеи и характерные черты такого описания.

Состояние свободной частицы (без спина) может быть полностью определено заданием одного лишь ееимпульса . При этом энергия частицы (где — масса частицы), или в четырехмерном виде:

Как известно, законы сохранения импульса и энергии связаны с однородностью пространства и времени, т. е. с симметрией по отношению к любому параллельному смещению 4-системы координат. В квантовом описании требование этой симметрии означает, что волновая функция частицы с определенным 4-импульсом при указанном преобразовании 4-координат может только умножаться на фазовый множитель (с равным единице модулем). Этому требованию удовлетворяет лишь экспоненциальная функция с линейным по 4-координатам показателем. Другими словами, волновая функция состояния свободной частицы с определенным 4-импульсом должна быть плоской волной:

(10,2)

(выбор знака в показателе в релятивистской теории сам по себе условен: он сделан в соответствии с нерелятивистским случаем).

Волновое уравнение должно иметь функции (10,2) в качестве частных решений при произвольном 4-векторе , удовлетворяющем условию (10,1). Оно должно быть линейным как выражение принципа суперпозиции: любая линейная комбинация функций (10,2) тоже описывает возможное состояние частицы и потому тоже должна быть решением.

Наконец, оно должно быть по возможности более низкого порядка; более высокий порядок внес бы лишние решения.

Спин есть момент частицы в системе отсчета, в которой она покоится. Если спин частицы есть s, то ее волновая функция в системе покоя является трехмерным спинором ранга . Для описания же частицы в произвольной системе отсчета ее волновая функция должна быть выражена в виде четырехмерных величин.

Частица со спином 0 описывается в системе покоя трехмерным скаляром. Такой скаляр, однако, может иметь различное четырехмерное «происхождение»: это может быть четырехмерный скаляр , но может быть и четвертая компонента 4-вектора (времениподобного), у которого в системе покоя отлична от нуля лишь составляющая .

Для свободной частицы единственный оператор, который может войти в волновое уравнение, — это оператор 4-импульса . Его компонентами являются операторы дифференцирования по координатам и времени:

Волновое уравнение должно представлять собой дифференциальную связь между величинами и осуществляемую с помощью оператора . Эта связь должна, разумеется, выражаться релятивистски инвариантными соотношениями. Таковыми являются

где т — размерная постоянная, характеризующая частицу.

Подставив из первого уравнения во второе, получим

(О. Klein, В. А. Фок, 1926; W. Gordon, 1927). В раскрытом виде это уравнение записывается как

Подставив в него в виде плоской волны (10,2), получим откуда видно, что — масса частицы.

Отметим, что вид уравнения (10,5), конечно, заранее ясен из того, что единственный скалярный оператор, который можно составить с помощью (по этой причине такому же уравнению удовлетворяет каждая из компонент волновой функции частицы с любым спином — это мы неоднократно увидим в дальнейшем).

Таким образом, частица со спином 0 описывается по существу всего одним (четырехмерным) скаляром подчиняющимся уравнению второго порядка (10,5). В уравнениях же первого порядка (10,4) роль волновой функции играет совокупность величин причем 4-вектор сводится к 4-градиенту скаляра . В системе покоя волновая функция частицы не зависит от координат (пространственных) и поэтому пространственные компоненты 4-вектора обращаются, как и должно быть, в нуль.

Для проведения вторичного квантования полезно выразить энергию и импульс частицы в виде интегралов по пространству от некоторых билинейных (по комбинаций, представляющих собой как бы пространственную плотность этих величин. Другими словами, надо найти тензор энергии-импульса соответствующий уравнению (10,5). С помощью этого тензора закон сохранения энергии и импульса выражается уравнением

Согласно общим правилам теории поля (см. II, § 32), напишем вариационный принцип, следствием которого являлось бы уравнение (10.5). Такой принцип должен заключаться в требовании минимальности «интеграла действия»

от некоторого вещественного 4-скаляра L — плотности лагранжевой функции поля. С помощью скаляра (и оператора можно составить вещественное билинейное скалярное выражение вида

где — размерная постоянная. Рассматривая как независимые переменные, описывающие поле («обобщенные координаты» поля q), легко видеть, что уравнения. Лагранжа

() действительно совпадают с уравнениями (10,5) для и причем — масса частицы.

Отметим также, что выражение (10,9) написано с таким общим знаком, чтобы квадрат производной по времени, входил в L со знаком плюс; в противном случае действие не могло бы иметь минимума (ср. II, § 27). Выбор же общего числового коэффициента в L условен (и отражается лишь на нормировочном коэффициенте в ).

Тензор энергии-импульса вычисляется теперь по формуле

(суммирование по всем q). Подставив (10,9), получим

(10,12)

(эти величины, как и следовало, вещественны, что обеспечивается вещественностью L). В частности,

(10,14)

4-импульс поля дается интегралом

(10,15)

т. е. играют роль плотности энергии и импульса. Отметим, что величина существенно положительна.

Формулой (10,13) можно воспользоваться для нормировки волновой функции. Плоская волна, нормированная на одну частицу в объеме запишется в виде

(10,16)

Действительно, для этой функции так что полная энергия в объеме совпадает с энергией одной частицы.

Момент импульса, сохранение которого связано с изотропией пространства, тоже может быть выражен в виде пространственного интеграла; однако такое представление момента нам в дальнейшем не понадобится.

Наконец, помимо законов сохранения, связанных непосредственно с пространственно-временной симметрией, уравнения (10,4) допускают еще один закон сохранения.

Действительно, легко убедиться, что в силу (10,4) (и таких же уравнений для имеет место уравнение

(10,17)

где

(10,18)

Отсюда видно, что играет роль -вектора плотности тока. При этом (10,17) есть уравнение непрерывности, выражающее закон сохранения величины

(10,19)

где

(10,20)

Обратим внимание на то, что — не положительно определенная величина. Уже это обстоятельство показывает, что в общем случае ее заведомо нельзя интерпретировать как плотность вероятности пространственной локализации частицы. Смысл выражаемого уравнением (10,17) закона сохранения выяснится в следующем параграфе.