§ 67. Физические области

Рассматривая амплитуды рассеяния как функции независимых переменных s, t, и (связанных лишь соотношением ), мы сталкиваемся с необходимостью различать физически допустимые и недопустимые области их значений. Значения, которые могут отвечать физическому процессу рассеяния, должны удовлетворять определенным условиям, являющимся следствиями закона сохранения 4-импульса и того факта, что квадрат каждого из 4-векторов есть заданная величина

Произведение двух 4-импульсов

Поэтому

если

Отсюда следует, что для реакции в -канале:

(аналогичные неравенства — в и -каналах).

Для нахождения остальных условий составим 4-вектор L, дуальный произведению каких-либо трех из 4-векторов скажем

В системе покоя одной из частиц (например, частицы 1) . При этом L имеет лишь пространственные компоненты: Другими словами, L — пространственноподобный вектор, и во всякой системе отсчета Раскрыв квадрат получим условие

Рис. 5

Оно может быть выражено через инварианты s, t, и в едином для всех каналов виде

где

(67,6)

Для графического изображения областей изменения переменных s, и удобно пользоваться так называемыми треугольными координатами на плоскости (плоскость Мандельстама; S. Mandelstam, 1958). Координатными осями в ней являются три прямые, образующие в пересечении равносторонний треугольник. Координаты s, t, и отсчитываются по направлениям, перпендикулярным этим трем прямым. (Считаем положительными направления внутрь треугольника, как указано на рис. 5 стрелками.) Другими словами, каждой точке плоскости отвечают значения s, t, и, изображающиеся (с соответствующими знаками) длинами перпендикуляров, опущенных на три оси.

Выполнение условия обеспечивается при этом известной геометрической теоремой (если высота равностороннего треугольника равна ).

Рассмотрим важный случай, когда основному каналу отвечает упругое рассеяние; при этом массы частиц попарно одинаковы:

Пусть . В условии (67,5) имеем

так что

Граница области, определяемой этим неравенством, состоит из прямой и гиперболы

две ветви которой лежат в секторах оси являются асимптотами гиперболы. Вместо (67,8) можно написать

или

Кроме того, из условий (67,2) надо дополнительно учесть неравенство в -канале и в -канале; остальные неравенства удовлетворяются после этого автоматически. В результате найдем, что каналам I, II, III отвечают, как говорят, физические области, изображенные на рис. 6 штриховкой.

Рис. 6

Если (частицы 2, 4 — фотоны), то нижняя ветвь гиперболы касается оси и физические области выглядят, как показано на рис. 7.

Если же то границы области (67,8) вырождаются в координатные оси и физическими областями являются показанные на рис. 8 три сектора.

Рис. 7

Рис. 8

В общем случае четырех различных масс уравнение

(67,10)

определяет кривую третьего порядка, ветви которой ограничивают физические области трех каналов, как показано на рис. 9.

Рис. 9

Пусть

Тогда

Кривая (67,10) пересекает координатные оси в точках, лежащих на прямой

(см. пунктирные линии на рис. 9). В зависимости от знака с она проходит, как показано на рис. 9.

При физическая область -канала захватывает часть площади координатного треугольника; другими словами, в этом случае величины s, t, и могут быть одновременно положительными. Все три ветви граничной кривой имеют в качестве асимптот соответствующие координатные оси (в этом легко убедиться, исключив из уравнения (67,10) одну из переменных с помощью соотношения и устремив затем одну из оставшихся переменных к бесконечности). Условия (67,2) не вносят в общем случае ничего нового по сравнению с границами, устанавливаемыми уравнением (67,10). Прямые линии, соответствующие знакам равенства в (67,2), не пересекают заштрихованных на рис. 9 физических областей; некоторые из них касаются границ этих областей, отвечая экстремальным значениям переменных s, t или и в соответствующем канале.

В случае, когда масса одной из частиц больше суммы масс трех остальных наряду с каналами I, II, III возможен еще четвертый канал реакции, отвечающий распаду:

(67,11)

Для этого канала в системе покоя распадающейся частицй

Инварианты:

(67,12)

Из (67,1) получим теперь:

(67,13)

Таким образом, все три инварианта положительны, т. е. физическая область канала распада находится внутри координатного треугольника.

Задачи

1. Найти физические области в случае трех одинаковых масс: (например, реакция ).

Решение. Уравнение (67,10) принимает вид

причем

Области I, II, III ограничены одинаковыми по форме кривыми и аналогично для II и III). Если то (1) имеет также ветвь (замкнутую кривую) с — границу области канала IV (рис. 10).

2. То же в случае (например, реакция ).

Решение. Условие (67,5) принимает вид

причем s Физические области ограничены осью и двумя ветвями гиперболы (рис. 11).

Рис. 10

Рис. 11

3 То же в случае , причем (например, реакция ).

Рис. 12

Решение. Уравнение границ (67,10) принимает вид

Исключив и, получим

При заданном s это — квадратное уравнение для t. При (область -канала) каждому s отвечают два отрицательных значения t. При эти два корня квадратного уравнения сливаются в один;

Граница области -канала имеет вид, показанный на рис. 12. Нижняя ветвь граничной кривой асимптотически приближается к оси а верхняя пересекает эту ось в точке

Область -канала симметрична по отношению к области -канала, а область канала расположена, как показано на рисунке.