ГЛАВА X. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ

§ 86. Рассеяние фотона электроном

Сохранение 4-импульса при рассеянии фотона свободным электроном (эффект Комптона) выражается равенством

где — 4-импульсы электрона и фотона до столкновения, а — их 4-импульсы после столкновения. Введенные в § 66 кинематические инварианты:

Рассматриваемый процесс изображается двумя диаграммами Фейнмана (74,14), и его амплитуда

(86,3)

где

Здесь — 4-векторы поляризации начального и конечного фотонов; — биспинорные амплитуды начального и конечного электронов.

Согласно изложенным в § 65 правилам, для произвольных поляризационных состояний частиц квадрат заменяется на

Здесь — матрицы плотности начального и конечного электронов, — то же для фотонов; фотонные (тензорные) индексы выписаны явно, а электронные (биспинорные) подразумеваются; знак относится именно к последним индексам. К этим же индексам относится знак эрмитова сопряжения в определении

Рассмотрим рассеяние неполяризованного фотона на непо-Ляризованном электроне, не интересуясь при этом их поляризациями после рассеяния. Усреднение по поляризациям всех частиц достигается с помощью матриц плотности:

переход к суммированию по поляризациям конечных частиц осуществляется умножением еще на 2•2 = 4.

По формуле (64,23) (в которой надо положить теперь — см. (64,15а)) получим для сечения

С помощью формул (65,2а) находим, что Отделив члены, переходящие друг в друга при замене k на —k (и соответственно ), представим сечение в виде

где обозначено

(в этих обозначениях мы заранее имеем в виду, что результат будет зависеть лишь от инвариантных величин).

Суммирование по и v выполняется с помощью формул (22,6); отбросив затем члены с нечетным числом множителей , получим

Вычислив след с помощью формул (22,13) и выразив все величины через инварианты s, u, найдем после простых преобразований

Аналогичным образом вычисляется g:

В результате для сечения получим

где . Эта формула выражает сечение через инвариантные величины. С ее помощью легко выразить сечение через параметры столкновения в любой конкретной системе отсчета.

Сделаем это для лабораторной системы отсчета, в которой электрон до столкновения покоился: . Здесь

Написав уравнение сохранения 4-импульса в виде и возведя его в квадрат, получим

откуда (в лабораторной системе)

где — угол рассеяния фотона. Этим равенством определяется связь между изменением энергии фотона и углом рассеяния:

Инвариант

При заданной энергии со находим (с помощью (86,8))

Подстановка написанных выражений в (86,6) приводит к следующей формуле для сечения рассеяния в лабораторной системе отсчета:

(О. Klein, У. Nishina, 1929; И. Е. Тамм, 1930).

Поскольку угол однозначно связан с соотношением 86,8), сечение может быть выражено через энергию рассеянного фотона :

причем меняется в пределах

(86,11)

При ( в (86,9) можно положить , и получается, как и должно быть, классическая нерелятивистская формула Томсона

(86,12)

(см. II (78,7)).

Для вычисления полного сечения вернемся к формуле (86,6). Входящие в нее инварианты s, t, и пробегают значения, удовлетворяющие неравенствам

(86,13)

Они были уже получены в § 67 (соответствующая им физическая область на рис. 7, с. 300). Легко убедиться в них и непосредственно, написав выражения инвариантов в системе центра инерции. Здесь а энергии электрона и фотона со связаны посредством Инварианты:

(86,14)

где — угол рассеяния (угол между или между ). Три неравенства (86,13) получаются из условий:

При заданном s (заданной энергии частиц) интегрирование по t можно заменить интегрированием по в интервале

Введя вместо s, и величины

(86,15)

получим

и после элементарного интегрирования

(86,16)

Первые члены разложения при (нерелятивистский случай) дают

(86,17)

Первый член есть классическое томсоновское сечение. В обратном, ультрарелятивистском случае и разложение формулы (86,16) дает

(86,18)

В лабораторной системе отсчета

(86,19)

так что формулы (86,16-18) прямо дают зависимость сечения рассеяния на неподвижном электроне от энергии фотона. На рис. 13 дан график зависимости от .

Рис. 13

Отметим, что в ультрарелятивистском случае сечение падает с увеличением энергии как в лабораторной системе отсчета (), так и в системе центра инерции ().

Угловое же распределение в ультрарелятивистском случае носит в этих двух системах отсчета совершенно различный характер.

В лабораторной системе дифференциальное сечение имеет резкий максимум в направлении вперед. В узком конусе имеем и сечение (достигая значения при ). Вне этого конуса сечение убывает, и в области (где ) имеем

т. е. сечение уменьшается в раз.

В системе же центра инерции дифференциальное сечение имеет максимум в направлении назад. При имеем из (86,14)

Наибольший член в сечении (86,6)

откуда

(86,20)

Сечение в узком конусе а вне его уменьшается по порядку величины в раз.