§ 100. Образование пар при столкновениях частиц

Образование электронной пары при столкновении двух заряженных частиц описывается диаграммами двух типов:

Две верхние сплошные линии отвечают сталкивающимся частицам, нижняя — рождающейся паре.

Рассмотрим в ультрарелятивистском случай столкновение двух тяжелых частиц (ядер). Изменением состояния движения самих этих частиц при таком столкновении можно пренебречь, т. е. можно рассматривать их как источники внешнего поля. Этому отвечают две диаграммы первого типа:

где — «импульсы» компонент Фурье полей двух частиц.

Потенциал , создаваемый равномерно движущейся со скоростью v классической частицей, удовлетворяет уравнениям

Его компоненты Фурье

и аналогично для . В четырехмерном виде

где U — 4-скорость частицы, а 4-вектор Если ядро 1 покоится в начале координат то есть вектор прицельного расстояния (в плоскости, перпендикулярной направлению движения ядра 2). Это выражение для и должно использоваться при аналитической записи диаграмм (100,2).

В проведении вычислений этим способом в данном случае, однако, нет необходимости. Сечение образования пары может быть определено с помощью метода эквивалентных фотонов по известному уже нам сечению образования пары фотоном на ядре. Замена поля одной из частиц (скажем, первой) спектром эквивалентных фотонов означает, что в диаграммах (100,2) линии рассматриваются как линии реальных фотонов. Совокупность этих двух диаграмм становится тогда тождественной с совокупностью диаграмм, отвечающих образованию пары фотоном на ядре 2. При сечение поеледнего процесса дается формулой (94,5). Умножив это выражение на спектр (99,16) эквивалентных фотонов первого ядра, получим (с логарифмической точностью) дифференциальное сечение образования пары при столкновении частиц:

(100,3)

где

Здесь предполагается, что

(100,4)

верхнее неравенство есть условие применимости метода эквивалентных фотонов. В то же время область, определяемая неравенствами (100,4), совпадает с областью энергий электрона и позитрона, существенных при интегрировании выражения (100,3). При интегрировании по или при заданной сумме существенна область вблизи верхнего предела; отбрасывая члены, не содержащие большого логарифма, получаем

Интеграл по , взятый по области (100,4), расходится как куб логарифма, а на краях этой области — лишь как квадрат логарифма. В логарифмическом приближении следовательно, область (100,4) действительно основная, и интеграл может быть взят в пределах от до .

Имеем

так что полное сечение образования пары

(Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, 1934).

Рассмотрим теперь случай нерелятивистских скоростей сталкивающихся ядер. В этом случае становится существенным изменение движения ядер под влиянием их взаимодействия, и основной вклад в сечение образования пары дают диаграммы второго типа в (100,1). Таких диаграмм — четыре: две диаграммы

и две аналогичные, в которых виртуальный фотон k (рождающий пару) испускается первым, а не вторым ядром.

Будем считать, что энергия пары мала по сравнению с кинетической энергией относительного движения ядер в системе их центра инерции:

(100,7)

(v — начальная относительная скорость, — приведенная масса ядер). Тогда можно пренебречь обратным влиянием рождения пары на движение ядер. Если в диаграммах (100,6) убрать электрон-позитронную линию, то оставшиеся их части будут изображать испускание сталкивающимися частицами виртуального фотона малой частоты Мы возвращаемся, таким образом, к ситуации, рассмотренной в § 98 для испускания реального мягкого фотона, и можем воспользоваться полученной там для нерелятивистского случая формулой (98,13) (с тем отличием, что вместо амплитуды реального фотона будет стоять пропагатор виртуального фотона.

Таким образом, амплитуда всего процесса рождения пары запишется в виде

где

Как обычно, в нерелятивистском случае фотонный пропагатор следует выбрать в калибровке (76,14). По амплитуде (100,8) находим сечение процесса:

(100,9)

где

— сечение упругого рассеяния ядер друг на друге (в системе их центра инерции). Оно дается формулой Резерфорда

(приближенное равенство предполагает малость отклонения ядер от их начального направления движения — оси х). Подставив это выражение в (100,9) и произведя обычным образом суммирование по поляризациям пары, получим

Дальнейшее вычисление производится в приближении, в котором все возникающие при интегрировании логарифмы считаются большими величинами.

Мы увидим, что с этой точностью основную роль играют энергии пары и углы 0 между в области

(100,12)

С соответствующими пренебрежениями вычисление следа в (100,11) дает

причем можно положить: . В знаменателе же

Интегрируя по направлениям при заданном угле между ними, получаем

Вид зависимости от 0 подтверждает предположение (100,12), в интегрирование по 0 дает Интегрирование же последнего множителя в (100,13) производится в пределах от до где R — величина порядка радиуса ядер (это значение соответствует наименьшим прицельным расстояниям — см. ниже); это интегрирование дает

С другой стороны, полная энергия пары, равная изменению энергии ядер, есть

откуда Таким образом, находим

а после интегрирования по или при заданной сумме :

(100,14)

Энергии можно привести в соответствие прицельное расстояние (энергия пары — порядка частоты, отвечающей времени столкновения). Поэтому логарифмическая расходимость при интегрировании по в (100,14) означает такую же расходимость по прицельным расстояниям. Это значит, что существенны большие (тем самым, кстати, оправдывается использование сечения рассеяния (100,10) в чисто кулоновом поле ядра). Соответственно существенна область энергий: Интегрирование (100,14) дает полное сечение образования пары; окончательно (в обычных единицах)

(Е. М. Лифшщ, 1935).