§ 78. Перекрестная инвариантность

Представление амплитуд рассеяния интегралами Фейнмана обнаруживает их замечательную симметрию, состоящую в следующем.

Любую из входящих внешних линий диаграммы Фейнмана можно рассматривать (без изменения ее направления) как частицу в начальном или античастицу в конечном состоянии, а каждую выходящую линию — как конечную частицу или начальную античастицу. Одновременно с переходом от частицы к античастице меняется также и смысл приписываемого линии 4-импульса : для частицы (скажем, электрона) и для позитрона. Меняется также и приписываемая частице поляризация. Поскольку входящей внешней линии должна сопоставляться волновая амплитуда и, а выходящей и, для электрона а для позитрона Но переход от к означает изменение знака проекции спина частицы (или ее спиральности).

Для фотона, как истинно нейтральной частицы, изменение смысла внешней линии означает просто переход от испускания фотона к его поглощению или наоборот: внешняя фотонная линия с импульсом k отвечает либо поглощению фотона с импульсом либо испусканию фотона С импульсом бисп и с противоположным знаком спиральности.

Такое изменение смысла внешних линий эквивалентно переходу от одного перекрестного канала реакции к другим каналам. Отсюда следует, что одна и та же амплитуда как функция импульсов свободных концов диаграмм описывает все каналы реакции.

В зависимости от канала меняется лишь смысл аргументов функции: при переходе от частицы к античастице заменяется где - 4-импульс начальной (в одном канале), а — 4-импульс конечной (в другом канале) частицы. Об этом свойстве амплитуды рассеяния говорят как о перекрестной симметрии, или перекрестной инвариантности.

В терминах введенных в § 70 инвариантных амплитуд, функций кинематических инвариантов, можно сказать, что эти функции будут одни и те же для всех каналов, но для каждого канала их аргументы пробегают значения в своей физической области. Другими словами, интегралы Фейнмана определяют инвариантные амплитуды как аналитические функции; их значения в разных физических областях являются аналитическим продолжением функции, заданной в одной из областей. Так как подынтегральные выражения интегралов Фейнмана содержат особенности, то и инвариантные амплитуды имеют особенности, определяемые из выражений для этих интегралов (с учетом правила обхода полюсов). Если инвариантные амплитуды вычислены для какого-либо канала по интегралам Фейнмана, то и их аналитическое продолжение к другим каналам будет автоматически учитывать эти особенности.

Подчеркнем, что перекрестная инвариантность есть нечто большее, чем свойства матрицы рассеяния, вытекающие из общих требований пространственно-временной симметрии. Последние требуют равенства амплитуд процессов, получающихся друг из друга перестановкой начального и конечного состояний с заменой всех частиц античастицами (при неизменных импульсах всех частиц и измененных по знаку проекциях их Моментов). Это — требование СРТ-инвариантности. Перекрестная же инвариантность позволяет делать такое преобразование не только для всех частиц сразу, но и для любой частицы в отдельности.