§ 123. Радиационное смещение атомных уровней

Радиационные поправки приводят к смещению уровней энергии связанных состояний электрона во внешнем поле (так называемое смещение Лэмба). Наиболее интересный случай этого рода — смещение уровней атома водорода (или водородоподобного иона).

Последовательный метод вычисления поправок к уровням энергии основан на использования точного электронного пропагатора во внешнем поле (см. § 109). Но если

(123,1)

то можно воспользоваться более простым способом, в котором внешнее поле рассматривается как возмущение.

В первом приближении по внешнему полю радиационная поправка во взаимодействии электрона с постоянным электрическим полем описывается теми двумя диаграммами (121,2), которые уже рассматривались нами в связи с задачей о рассеянии электрона в таком поле; переход от одной задачи к другой требует лишь простой переформулировки (см. ниже).

Легко понять, однако, что таким способом можно найти только ту часть сдвига уровня, которая обусловлена взаимодействием с виртуальными фотонами достаточно больших частот. Действительно, рассмотрим, например, следующую (по внешнему полю) радиационную поправку к амплитуде рассеяния электрона:

(в отличие от (121,2,6) эта диаграмма содержит две вершины внешнего поля). В той области интегрирования по где достаточно велико, эта поправка содержит лишнюю степень и поэтому несущественна. Но введение в диаграмму второй вершины внешнего поля вводит в ное также и еще один электронный пропагатор При малых k (и нерелятивистских внешних концах ) оказываются существенными импульсы виртуальных: электронов близкие к полюсу пропагатора Появляющийся в результате малый знаменатель компенсирует лишний малый множитель То же самое относится, очевидно, и к поправкам всех вообще порядков по внешнему полю. Другими словами, в области малых частот виртуальных фотонов внешнее поле должно учитываться точным образом.

Разобьем искомый сдвиг уровня на две части:

(123,3)

происходящие соответственно от взаимодействия с виртуальными фотонами частоты в областях .

При этом выберем к так, чтобы было

(123,4)

( — порядок величины энергии связи электрона в атоме). Тогда в области I достаточно учитывать поле ядра лишь в первом приближении. В области же II надо учитывать поле ядра точным образом, но зато (в силу условия ) можно решать задачу в нерелятивистском приближении — не только по отношению к самому электрону, но и для всех промежуточных состояний. При условии (123,4) области применимости обоих способов расчета перекрываются, что и позволяет произвести строгую «сшивку» обеих частей поправки к уровню.

Высокочастотная часть сдвига

Рассмотрим сначала область I. В ней можно воспользоваться поправкой к амплитуде рассеяния (122,1), из которой, однако, необходимо предварительно исключить вклад виртуальных фотонов, относящихся к области II. Такие фотоны вносят лишь малый вклад в формфактор g, который поэтому не нуждается в изменении. В функцию же f виртуальные фотоны малых частот вносят большой вклад из-за инфракрасной расходимости. Поэтому в качестве f в (122,1) надо подставить функцию из которой область уже исключена.

Такое исключение можно было бы произвести прямым способом, вычитая из интеграл по области Требуемый результат можно, однако, получить без новых вычислений, используя результаты § 122.

Для этого заметим, что исключение частот можно рассматривать как один из возможных способов инфракрасного обрезания. Результат же для поправки к сечению рассеяния не может, разумеется, зависеть от способа обрезания при условии, что таким же образом обрезается и вероятность испускания реальных мягких фотонов, т. е. в понятие «упругого» рассеяния включается испускание с частотами лишь от до заданного . Если выбрать ( то явный учет испускания фотонов станет излишним. Отсюда ясно, что получается из определенной в § 122 функции просто заменой ютах на В частности, в нерелятивистском случае

Преобразуем теперь поправку (122,1) к амплитуде рассеяния, представив ее как результат соответствующей поправки к эффективной потенциальной энергии электрона в поле.

Сравнивая амплитуду (122,1)

с борновской амплитудой рассеяния (121,6)

мы видим, что роль такой поправки играет (в импульсном представлении) функция

(123,6)

В нерелятивистском случае, взяв и g из (113,14) и (117,20), а для f подставив из (123,5), получим

Соответствующая функция в координатном представлении :

(123,8)

Смещение уровня получим, усредняя по волновой функции невозмущенного состояния электрона в атоме, т. е. как соответствующий диагональный матричный элемент:

(123,9)

В первом члене достаточно использовать при усреднении нерелятивистскую функцию электрона. Во втором же члене такого приближения недостаточно: нулевое приближение по нерелятивистским функциям обращается в нуль ввиду отсутствия у матриц у диагональных элементов. Поэтому здесь надо воспользоваться найденной в § 33 приближенной релятивистской функцией сохранив в ней малые (в стандартном представлении) компоненты

Имеем

и, подставив из (33,4)

получим

(при преобразовании интеграла использовано тождество (33,5) и произведено интегрирование по частям). Поскольку то

и поэтому

где — оператор орбитального момента. Наконец, собрав полученные выражения и подставив в (123,9), найдем

(123,10)

где теперь уже в обоих членах усреднение производится по нерелятивистской волновой функции.

Низкочастотная часть сдвига

Для вычисления второй части сдвига уровней используем прием, основанный в конечном итоге на условии унитарности.

В силу возможности испускания фотона возбужденное состояние атома является квазистационарным (а не строго стационарным). Такому состоянию можно приписать комплексное значение энергии, причем его мнимая часть равна — где w — вероятность распада состояния, т. е. в данном случае полная вероятность испускания фотона (см. III, § 134).

В нерелятивистском приближении излучение является дипольным, и согласно (45,7) имеем

(где суммирование производится по всем нижележащим уровням, ), или в эквивалентном виде:

(123,11)

Чтобы найти вещественную часть следует рассмотреть как комплексную переменную и произвести аналитическое продолжение. Это можно сделать, рассматривая -функции как происходящие от полюсов. Правило обхода полюсов задается, как обычно, добавлением отрицательной части к массам виртуальных частиц, в данном случае — к массам электрона в промежуточных состояниях атома. Роль этих масс играют так что надо положить

откуда следует замена

(123,12)

Подставив (123,12) в (123,11), найдем, таким образом,

Искомое аналитическое продолжение получится теперь просто опусканием знака в обеих сторонах равенства. Нам надо, однако, выделить из лишь ту часть, которая связана с вкладом частот в области II: . Для этого достаточно заменить верхний предел интеграла на k. Произведя интегрирование, получим в результате

(в силу неравенства (123,4) на верхнем пределе мы пренебрегли разностью по сравнению с k). В дальнейшем нас будет интересовать только вещественная часть уровня; она получается заменой в (123,13) аргумента логарифма на

В выражении (123,13) преобразуем член с , заменив матричные элементы дипольного момента матричными элементами импульса и его производной :

Заменив теперь согласно операторному уравнению движения электрона получим

Поэтому можно переписать (123,13) в виде

(123,15)

Полный сдвиг

Наконец, сложив обе части, найдем следующую окончательную формулу для сдвига уровня:

( и должно быть, вспомогательная величина из нее выпала).

Все матричные элементы в (123,16) берутся по отношению к нерелятивистским волновым функциям электрона в атоме. Для атома водорода (или водородоподобного иона) эти функции зависят только от трех квантовых чисел: главного квантового числа , орбитального момента I и его проекции (но не от полного момента соответствующие же уровни энергии зависят только от .

Введем обозначение

(123,17)

Уровни энергии пропорциональны а характерный размер атома пропорционален поэтому определенные согласно (123,17) величины от Z не зависят. Эти величины могут быть найдены численно.

Далее рассмотрим отдельно случаи . При последний член в (123,16) исчезает. Во втором члене воспользуемся уравнением

которому удовлетворяет потенциал кулонова поля ядра. Отсюда

(см. (34,3)). В первом же члене вводим обозначение (123,17) и еще раз используем равенство (123,14):

В результате получим следующее выражение для сдвига -термов:

(обычные единицы). Числовые значения нескольких величин

Невозмущенные уровни поэтому относительная величина радиационного сдвига

(123,19)

В случае в (123,16) исчезает второй член. Третий же вычисляется с помощью формул, приведенных в § 34. В этом члене имеется зависимость также и от числа . В результате получим

(123,20)

Таким образом, радиационный сдвиг снимает последнее вырождение, оставшееся после учета спин-орбитального взаимодействия, — вырождение уровней с одинаковыми значениями но разными Так, числовое значение и из (123,18-20) получается следующая величина для разности уровней атома водорода:

(этой разности отвечает частота 1050 МГц).