§ 31. Волновое уравнение для частицы со спином 3/2

Частица со спином 3/2 описывается в своей системе покоя симметричным -спинором третьего ранга (с независимыми компонентами). Соответственно в произвольной системе отсчета в ее описании могут участвовать 4-спиноры каждый из которых симметричен по всем одинаковым (пунктирным или непунктирным) индексам; при инверсии спиноры в первой и во второй паре переходят друг в друга.

Для того чтобы в системе покоя 4-спиноры переходили в 3-спиноры, симметричные по всем трем индексам, они должны удовлетворять условиям

Действительно, в системе покоя

(как это видно из (20,1)). Поэтому условия (31,1) приводят к равенствам

где буквы со штрихом обозначают соответствующие 3-спиноры; другими словами, эти спиноры дают нуль при упрощении по индексам а это и означает, что они симметричны по этим индексам, а потому и по всем трем индексам.

Дифференциальная связь между спинорами устанавливается соотношениями

Симметричность левых сторон этих уравнении (по индексам или ) обеспечивается условиями (31,1), в силу которых они обращаются в нуль при упрощении по всем индексам. В системе покоя -спиноры и в силу уравнений (31,2) совпадают. Исключив из уравнений (31,2) или найдем, что каждая из компонент спиноров удовлетворяет уравнению второго порядка

Совокупность уравнений (31,1-2) составляет полную систему волновых уравнений для частицы со спином Добавление спиноров не привело бы ни чему новому. Они строятся согласно

Уравнения частиц со спином 3/2 могут быть сформулированы также и в ином виде, в котором используются векторные аспекты свойств спиноров (W. Rarita, J. Schwinger, 1941; А. С. Давыдов, И. Е. Тамм, 1942). Паре спинорных индексов сопоставляется один четырехмерный векторный индекс Поэтому компонентам спинора третьего ранга можно привести в соответствие компоненты «смешанных» величин с одним векторным и одним спинорным индексом. Аналогично, спинору ставятся в соответствие величины , а совокупности обоих спиноров — «векторный» биспинор, (биспинорный индекс не выписываем).

Волновое уравнение запишется тогда в виде «уравнения Дирака» для каждой из векторных компонент

с дополнительным условием

Используя выражения для матриц в спинорном представлении и формулы связи между компонентами спинора и вектора (18,6-7), легко убедиться в том, что уравнения (31,2) содержатся в (31,4), а условие (31,5) эквивалентно условию симметричности спиноров и по индексам или Умножив уравнение (31,4) на получим ввиду (31,5)

или, воспользовавшись правилами коммутации матриц

Второй член снова обращается в нуль в силу (31,5), а первый дает

Легко видеть, что это условие, автоматически следующее из эквивалентно условиям (31,1).

Наконец, еще один способ формулировки волнового уравнения состоит во введении величин с тремя биспинорными индексами, по которым симметричны (V. Bargmann, Е. P. Wigner, 1948). Совокупность этих величин эквивалентна совокупности компонент всех четырех спиноров Волновое уравнение записывается в виде системы «уравнений Дирака»

Легко видеть, что эти уравнения уже приводят к нужному числу (четыре) независимых компонент и постановка дополнительных условий не требуется. Действительно, в системе покоя (31,8) сводятся к равенствам

в силу которых обращаются в нуль (в стандартном представлении все компоненты сводятся к компонентам 3-спинора третьего ранга.

Изложенные результаты очевидным образом обобщаются для частиц с любым полуцелым спином s. При описании уравнениями вида (31,4-5) волновая функция будет симметричным 4-тензором ранга с одним биспинорным индексом. При описании же уравнениями вида (31,8) волновая функция будет иметь биспинорных индексов, по которым она симметрична.