§ 84. Позитроний

Полученные в предыдущем параграфе формулы можно применить к позитронию — водородоподобной системе из электрона и позитрона.

В системе центра инерции операторы импульсов электрона и позитрона в позитронии: , где — оператор импульса относительного движения, соответствующий относительному радиус-вектору

Полный гамильтониан позитрония

Здесь магнетон Бора, оператор орбитального момента, — оператор полного спина системы (его квадрат ). включены все поправочные члены чисто орбитального характера; — спин-орбитальное взаимодействие; включает в себя спин-спиновое и «аннигиляционное» взаимодействия.

Невозмущенный гамильтониан

отличается, естественно, от гамильтониана атома водорода лишь заменой массы электрона приведенной массой Уровни энергии позитрония поэтому вдвое меньше (по абсолютной величине) уровней атома водорода:

( — главное квантовое число).

Остальные члены в (84,1) приводят к расщеплению уровней (84,2) — появлению тонкой структуры. Возникающие уровни классифицируются прежде всего по значениям полного момента Мы видим также, что операторы спинов частиц входят в гамильтониан (84,1) только в виде суммы §. Это значит, что гамильтониан коммутативен с оператором квадрата полного спина , т. е. полный спин продолжает сохраняться и в рассматриваемом (втором по ) приближении. Поэтому уровни энергии позитрония можно классифицировать также и по полному спину, принимающему значения Уровни со спином 0 называют уровнями парапозитрония, а уровни со спином 1 — уровнями ортопозитрония.

Следует подчеркнуть, что сохранение полного спина в позитронии является в действительности точным законом, не связанным с тем или иным приближением по он следует из СР-инвариантности электромагнитных взаимодействий.

Позитроний представляет собой истинно нейтральную систему, а потому его состояния характеризуются определенными зарядовой и комбинированной четностями. Последняя равна (см.задачу к § 27); поскольку S может иметь лишь два значения, 0 и 1, то сохранение комбинированной четности эквивалентно сохранению полного спина.

При полный момент совпадает с орбитальным. При спине же и заданном число I пробегает значения , соответственно чему каждый уровень ортопозитрония расщепляется, вообще говоря, на три уровня. Поскольку значениям отвечают различные четности, гамильтониан не имеет матричных элементов, связывающих эти состояния. Однако оператор возмущения (первый член в ), вообще говоря, имеет недиагональные элементы, связывающие состояния с при этом число I теряет, разумеется, строгий смысл орбитального момента.

Специфическими свойствами обладает эффект Зеемана в позитронии (В. Б. Берестецкий, И. Я. Померанцу к, 1949).

Орбитальный магнитный момент позитрония равен всегда нулю: поскольку в позитронии оператор

Оператор же спинового магнитного момента

не пропорционален оператору полного спина а операторы не коммутативны. Поэтому состояния с определенными значениями полного спина S и его проекции не являются, вообще говоря, собственными состояниями для магнитного момента.

Состояния с заданными описываются спиновыми функциями имеющими вид

где — спиновые функции одной частицы, соответствующие проекциям спина и (индексы «+» или «-» указывают, что функция относится к позитрону или электрону). Из них первые две — одновременно и собственные функции оператора отвечающие собственному значению

Функции же не являются собственными функциями таковыми являются комбинации

Легко видеть, что единственными отличными от нуля элементами матрицы вычисленными по функциям (84,4), являются элементы

В слабых магнитных полях (когда , где А — разность между энергиями уровней с ) исходным приближением для вычисления зеемановского расщепления являются состояния с определенными значениями полного спина. В первом приближении это расщепление дается средним значением оператора энергии возмущения

Но все диагональные матричные элементы оператора (а тем самым и ), вычисленные по функциям (84,4), равны нулю. Таким образом, в слабых полях линейный эффект Зеемана в позитронии отсутствует.

В противоположном предельном случае сильных полей можно пренебречь взаимодействием спинов, приводящим к установлению определенных значений 5. Компоненты расщепленного уровня будут в этом случае соответствовать состояниям с определенными значениями (описываемым функциями (84,5)), а величина их сдвига будет составлять

Задачи

1. Определить тонкую структуру уровней парапозитрония (В. Б. Берестецкий, 1949).

Решение. Искомая энергия расщепления уровня дается средними значениями поправочных членов в гамильтониане (84,1), вычисленными по волновым функциям невозмущенных состояний с различными значениями (равными . При отличный от нуля вклад возникает только от и второго члена в

Невозмущенные волновые функции (обозначим их ) удовлетворяют уравнению Шредингера

Поэтому

Среднее значение:

Последний интеграл равен — поскольку только при а волновые функции -состояний сферически-симметричны, интеграл равен и сокращается со вторым членом.

Введя оператор орбитального момента запишем:

Отсюда получаем для другого нужного нам среднего значения

последний член отсутствует).

Согласно известным формулам теории атома водорода (см. III (36.14), (36,16)) — с учетом замены массы электрона на — имеем

С помощью написанных формул получим для искомых уровней энергии парапозитрония

2. Определить разность энергий основных состояний орто- и парапозитрония.

Решение. Зависимость энергии от полного спина S при содержится лишь в среднем значении второго члена в (первый же член обращается в нуль при усреднении по углам в сферически-симметричном S-состоянии). Основной уровень ортопозитрония лежит выше основного уровня парапозитрония на величину