ГЛАВА V. ИЗЛУЧЕНИЕ

§ 43. Оператор электромагнитного взаимодействия

Взаимодействие электронов с электромагнитным полем, как правило, может рассматриваться с помощью теории возмущений. Это обстоятельство связано со сравнительной слабостью электромагнитного взаимодействия, выражающейся в малости соответствующей безразмерной «константы связи» — постоянной тонкой структуры . Эта малость играет фундаментальную роль в квантовой электродинамике.

В классической электродинамике (см. II, § 16,28) электромагнитное взаимодействие описывается членом

в плотности лагранжиана системы «поле заряды» (А - 4-потенциал поля, — -вектор плотности тока частиц). При этом плотность тока удовлетворяет уравнению непрерывности

выражающему закон сохранения заряда. Напомним (см. II, § 29), что калибровочная инвариантность теории тесно связана именно с этим законом. Действительно, при замене к плотности лагранжиана (43,1) добавляется величина которая в силу (43,2) может быть записана в виде 4-дивергенции

и поэтому выпадает при интегрировании по в действии .

В квантовой электродинамике 4-векторы j и А заменяются соответствующими вторично квантованными операторами. При этом оператор тока выражается через -операторы согласно . Роль обобщенных «координат» q в лагранжиане

играют значения в каждой точке пространства.

Поскольку плотность лагранжиана оказывается зависящей только от самих «координат» q (но не от их производных по ), переход к плотности гамильтониана по формуле (10,11) сводится лишь к изменению знака плотности лагранжиана. Таким образом, оператор электромагнитного взаимодействия (интеграл по пространству от плотности гамильтониана взаимодействия) имеет вид

Оператор свободного электромагнитного поля представляет собой сумму

содержащую операторы рождения и уничтожения фотонов в различных состояниях (нумеруемых индексом ). Каждый из них имеет матричные элементы лишь для увеличения или уменьшения соответствующего числа заполнения на 1 (при неизменных остальных числах заполнения). Поэтому и оператор А имеет матричные элементы лишь для переходов с изменением числа фотонов на 1. Другими словами, в первом приближении теории возмущений возникают только процессы однократного излучения или поглощения фотона.

Согласно (2,15) матричные элементы

Если в начальном состоянии поля фотоны (сорта ) отсутствуют, то Матричный элемент оператора (43,3) для испускания фотона

где — волновая функция излучаемого фотона, — матричный элемент оператора для перехода излучателя из начального состояния i в конечное . 4-вектор называют током перехода.

Аналогичным образом получается матричный элемент для поглощения фотона:

Он отличается от (43,6) лишь тем, что вместо стоит

Указанием аргумента t у мы подчеркиваем, что речь идет о зависящем от времени матричном элементе. Выделив в волновых функциях временные множители, можно обычным образом перейти к независящим от времени матричным элементам:

— начальная и конечная энергии излучающей системы; знаки соответствуют испусканию и поглощению фотона ).

Волновая функция фотона с определенным импульсом k и определенной поляризацией

(см. (4,3); временной множитель опущен). Подставив в (43,6), найдем матричный элемент для испускания такого фотона в виде

где — ток перехода в импульсном представлении, т. е. компоненты Фурье

Аналогичная формула для поглощения фотона:

(43,12)

Уравнение сохранения тока в импульсном представлении записывается в виде условия 4-поперечности токов перехода:

(43,13)

Написанные в этом параграфе формулы, в которых не предопределен вид оператора тока, имеют общий характер и справедливы для электромагнитных процессов с участием любых заряженных частиц. Существующая теория дает возможность установить вид оператора тока (и тем самым в принципе вычислить его матричные элементы) лишь для электронов.

При применении же к системам сильновзаимодейетвующих частиц (в том числе к ядрам) мы ограничимся изложением полуфеноменологической теории, в которой токи перехода выступают как заимствуемые из опыта величины, удовлетворяющие лишь общим требованиям пространственно-временной симметрии и уравнению непрерывности.