§ 93. Тормозное излучение электрона на ядре. Релятивистский случай

Обратимся к тормозному излучению электрона на ядре в случае релятивистских скоростей электрона. При этом будем предполагать выполненным условие применимости борновского приближения, т. е. как для начальной (), так и для конечной скоростей электрона: . При этом во всяком случае заряд ядра не должен быть слишком велик: .

Как и в предыдущем параграфе, будем пренебрегать отдачей ядра, так что ядро играет лишь роль источника внешнего поля (об оправдании такого пренебрежения см. § 97).

Согласно (91,4) сечение тормозного излучения выражается через его амплитуду формулой

В первом не исчезающем приближении матричному элементу отвечают две диаграммы:

Свободный конец q соответствует внешнему полю, так что q к есть 4-вектор передачи импульса ядру. Пренебрежение отдачей означает, что временная компонента Согласно диаграммам (93,2) имеем

Промежуточные 4-импульсы введем обозначения:

— скалярный потенциал внешнего поля; для чисто кулонова поля

Подставляя в (93,1), имеем для сечения

(93,6)

где

Не рассматривая поляризационных эффектов, усредним сечение по направлениям спина начального электрона и просуммируем по поляризациям конечных электрона и фотона. Это сводится к замене

Вычисление следа производится по стандартным формулам (см. § 22). Некоторое упрощение выкладок достигается использованием равенства

где если . Кроме того, число подлежащих вычислению членов можно сократить, если учесть симметрию по отношению к замене (такая замена приводит лишь к циклической перестановке множителей в произведении матриц и поэтому не меняет его следа).

В результате получается следующее выражение для дифференциального сечения тормозного излучения с испусканием фотона заданных частоты и направления и с вылетом вторичного электрона в заданном направлении):

где

Простыми преобразованиями можно придать этой формуле вид, несколько более удобный для исследования:

(93,8)

где

— углы между k и соответственно , — угол между плоскостями и .

Интегрирование (93,8) по направлениям фотона и вторичного электрона довольно громоздко. Оно приводит к следующей формуле для спектрального распределения излучения:

где

Напомним, что допустимые значения частот в полученных формулах ограничены только условием, налагаемым на конечную скоростьэектрона : электрон не должен терять почти всю свою энергию. При сечение излучения расходится, как это — проявление общего правила, которое будет рассмотрено в § 98.

В нерелятивистском пределе () импульс фотона мал по сравнению с импульсом электрона, так как

Поэтому Положив в (93,8) , в пренебрежении всеми по сравнению с , получим

или

в согласии с формулой, полученной в борцовском приближении в задаче 1 § 92, Соответственно и для спектрального распределения излучения получается известный уже нам результат (92,16).

В ультрарелятивистском случае, велики как начальная, так и конечная энергия электрона , угловое распределение фотонов и вторичных электронов имеет очень специфический характер. При малых углах фигурирующие в знаменателях формулы (93,8) величины к равны

и в области становятся очень малыми. В этой области мала также и величина вектора . Таким образом, в ультрарелятивистском случае фотон и вторичный электрон летят вперед в узком конусе с углом раствора

Количественную формулу для углового распределения в ультрарелятивистском случае легко получить из (93,8), подставив из (93,11), заменив во всех других местах на и пренебрегая по сравнению с Введя удобные обозначения:

(93,12)

представим эту формулу в виде.

Написав легко найти, что для малых углов

(93,14)

При второй член здесь мал по сравнению с первым. Эти члены сравниваются в области еще меньших углов, где Хотя здесь q становится в особенности малым интегральный вклад этой области в сечение все же мал по сравнению с вкладом всей области (как легко видеть — в отношении ). Но q может достигать значений также и при , если при этом

(93,15)

Вклад этой области — того же порядка величины, что и все интегральное сечение (или даже является основным в нем — см. ниже).

Интегрирование формулы (93,13) по и по дает угловое распределение фотонов (заданной частоты) безотносительно к направлениям вторичных электронов:

(93,16)

Проинтегрировав по , найдем спектральное распределение излучения в ультрарелятивистском случае:

(93,17)

(эту формулу можно, конечно, получить и непосредственно из (93,9)).

Обратим внимание на присутствие в (93,16) и (93,17) логарифма большой величины (даже при отношение ). Если она велика настолько, что велик даже ее логарифм, то в указанных формулах члены, содержащие логарифмы, становятся основными. Отметим, что этот логарифм происходит от интегрирования по области

Таким образом, в логарифмическом приближении (т. е. в пренебрежении членами, не содержащими большого логарифма) вторичный электрон летит под углом к направлению падения.

Наконец, приведем предельную формулу для области вблизи жесткой границы спектра, когда ультрарелятивистский электрон излучает почти всю свою энергию: . Из (93,9) легко находим

Формулы (93,17-18) перекрывают весь интервал значений а для ультрарелятивистского начального электрона; при эти формулы совпадают. Если вторичный электрон нерелятивистский (), то

(93,19)

Поляризационные эффекты

Поляризационные эффекты в тормозном излучении могут быть исследованы тем же общим методом, который был описан в § 65. Вопрос о выборе 4-векторов в данном случае особенно прост. Поскольку процесс удобно рассматривать фактически лишь в одной определенной системе отсчета (системе покоя ядра), то достаточно положить где — перпендикулярные к единичные векторы, из которых один лежит в плоскости а другой перпендикулярен ей.

Не будем приводить здесь ни самих довольно громоздких вычислений, ни их количественных результатов. Отметим лишь некоторые качественные свойства поляризационных эффектов. Эти свойства могут быть получены с помощью различных соотношений симметрии, подобно тому как это было сделано в § 87 для эффекта Комптона.

Излагаемая теория отвечает первому не исчезающему приближению теории возмущений. Б этом приближении сечение не может содержать члена, пропорционального одному лишь вектору поляризации начального или конечного электрона. Отсутствие члена означает, что полное (просуммированное по поляризациям фотона и вторичного электрона) сечение излучения зависит от поляризации падающего электрона.

Из числа членов, пропорциональных одним только поляризационным параметрам фотона отсутствует член Это значит, что при излучении иеполяриэованным электроном фотон не обладает круговой поляризацией. Здесь имеется, однако, отличие от аналогичного результата для аффекта Комптона. В последнем случае такие члены были запрещены пространственной четностью в связи с невозможностью составления псевдоскаляра из единственных имевшихся в нашем распоряжении двух независимых векторов . В случае же тормозного излечения имеется три независимых импульса (), что достаточно для построения псевдоскаляра Член гида не противоречит пр остр а ист пен четности и, строго говоря, отличен от нуля. Однако он не инвариантен по отношению к изменению знаков всех импульсов (ср. (87,26)) и потому отсутствует в первом борновском приближении.

Существование псевдоскаляра (к ) приводит также к тому, что наряду с членом оказывается разрешенным в сечении также и член (в противоположность ситуации при эффекте Комптона). Этот член возникает как произведение вида

(где ), инвариантное как по отношению к пространственной инверсии, так и по отношению к изменению знака всех импульсов. Таким образом, излучаемый фотон обладает линейной поляризацией обоих видов (как в направлениях осей ), так и в «диагональных» направлениях, под углом 45° к этнм осям). Это относится, однако, только к условиям, когда регистрируется также и направление вылета вторичного электрона. При интегрировании же по всем направлениям член в сечении обращается в нуль. Это очевидно из соображений симметрии: после интегрирования оба несовпадающих друг с другом «диагональных» направления становятся эквивалентными, и потому предпочтительная поляризация вдоль одной из них (как это имеет место при невозможна.

Степень линейной поляризации не зависит от поляризационного состояния падающего электрона: корреляционные члены в. сечении вида и запрещены в первом борновском приближении.

Член же разрешен, так что при излучении поляризованным электроном фотон обладает круговой поляризацией (Я. Б. Зельдович, 1952).

Экранирование

Полученные выше формулы выведены для чисто кулонова поля. Если же речь идет об излучении при столкновении не с «голым» ядром, а с атомом, то должна быть учтена экранировка поля ядра электронами, приводящая к уменьшению сечения. Для этого надо ввести в потенциал внешнего поля атомный формфактор (см. III, § 139). Согласно III (139,2) это достигается заменой Выясним условия, при которых экранирование существенно.

Определенному значению q в формфакторе отвечают расстояния в пространственном распределении электронных зарядов в атоме. Формфактор приближается к значению (полнее экранирование) при где а — размеры атома.

С другой стороны, в ультрарелятивистском случае существенный вклад в сечение излучения возникает, как мы видели выше, уже от области значений q вблизи того наименьшего значения, которое вообще может иметь q при заданных начальной и конечной энергиях электрона. В ультрарелятивистском случае

(93,20)

Экранирование существенно, если или

Это условие во всяком случае выполняется при достаточно больших энергиях падающего электрона.

Если («полная экранировка»), то с логарифмической точностью можно сразу выписать ответ для спектрального распределения излучения. Действительно, под знаком логарифма в (93,17) как раз стоит левая часть неравенства . При соблюдении неравенства интеграл по приводящий к этому логарифму, обрежется на значении порядка правой стороны неравенства. Согласно модели Томаса — Ферми где — боровский радиус (см. III, § 70); тогда Таким образом, при полной экранировке логарифм в (93,17) следует заменить на

Потеря энергии

Потеря энергии электроном на излучение характеризуется «эффективным торможением»:

(93,22)

Вычисление интеграла с из (93,17) приводит к следующему результату

где — функция Спенса, определенная согласно (131,19). В нерелятивистском случае формула (93,23) переходит в

(93,24)

(использовано, что ) да при - см. (131,23)). Это выражение можно, конечно, получить и непосредственным интегрированием нерелятивистской борновской формулы (92,16).

В ультрарелятивистском случае

(93,25)

(при имеем — см. (131,20); оба члена с квадратом логарифма в (93,23) могут быть при этом опущены).

Отношение называют также сечением потери энергии на излучение. При больших оно растет логарифмически. Это возрастание устраняется, однако, при учете экранирования. При полном экранировании стремится к постоянному пределу

При столкновении с атомом некоторое излучение происходит не только на ядре, но и на электронах. Мы увидим ниже (см. § 97), что в ультрарелятивистском случае сечение излучения электрона на электроне отличается от сечения излучения на ядре лишь отсутствием множителя Поэтому наличие Z атомных электронов можно приближенно учесть заменой на

При прохождении через среду, содержащую N атомов на единицу объема, быстрый электрон теряет в среднем свою энергию на расстояниях порядка

(93,26)

эту длину называют радиационной.

Длина когерентности

Формуле (93,20) можно дать и другое, более общее истолкование: для применимости полученных формул необходимо, чтобы внешнее поле, в котором движется электрон, мало менялось (в направлении движения) на расстояниях

эту длину называют длиной формирования излучения или длиной когерентности. Значение (93,27), полученное в борновском приближении, имеет в действительности (для ультрарелятивистских частиц) совершенно общий характер — легко получить его и в противоположном предельном случае квазиклассического движения. Действительно, из формулы (90,22) сразу видно, что для излучения под малыми углами к направлению движения существенны времена

т. е. участок траектории с длиной .

При заданной частоте со длина когерентности растет с увеличением энергии электрона. Между тем формулы, полученные для тормозного излучения на отдельном изолированном атоме, могут быть справедливы для излучения при прохождении через среду лишь при условии, что на длине когерентности не происходит повторного излучения фотона или рассеяния электрона. Первое означает, что должно быть Но уже значительно раньше нарушается второе условие — на пути возникает многократное рассеяние электрона на ядрах атомов среды.

Для формулировки количественного условия вернемся к формуле (90,22) до того, как в показателе экспоненты произведено интегрирование по времени, и запишем его б виде

где — малый угол между , связанный с рассеянием на ядрах. При кулоиозси рассеянии угол 0 меняется малыми «порциями», так что ызмексиие 0 со временем имеет характер медленной «диффузии по углам». Средний кгадрат отклонения электрона на пути

где — длина свободного пробега по отношению к кулоновым столкновениям. Для этого пробега имеем

где — минимальный и максимальный углы рассеяния в одном столкновении, для которых рассеяние можно еще считать резерфордсзеким (ср. X, § 41). Первый из них определяется атомными размерами , на которых поле ядра экранируется: . Большие же углы рассеяния ограничены (для улкрарелятнвистского электрона) расстояниями порядка радиуса ядра да Если положить то получим

Второй член в (93,28), набегающий за время оценивается теперь как

Для применимости формул тормозного излучения, полученных без учета многократного рассеяния, этот член должен быть мал по сравнению с единицей. Отсюда находим условие

более сильное, чем условие (Л. Д. Ландау, И. Я. Померанчук, 1953).