§ 106. Вершинный оператор

В сложных диаграммах можно выделить, наряду с собственно-энергетическими частями, также и не сводящиеся к ним блоки другого вида. К важной категории таких блоков мы придем, рассмотрев функцию

(106,1)

с одним 4-векторным и двумя биспинорными индексами; в силу однородности пространства-времени она зависит лишь от разностей аргументов Выраженная через операторы в представлении взаимодействия, функция К имеет вид

Переход к импульсному представлению осуществляется формулой

(106,3)

В диаграммной технике функциям соответствуют блоки (треххвостки) вида

с тремя (одним фотонным и двумя электронными) концами, импульсы которых связаны законом сохранения

(106,5)

Член нулевого порядка в разложении этой функции обращается в нуль, а член первого порядка в координатном представлении

или в импульсном представлении

(106,6)

(биспинорные индексы опущены); соответствующая диаграмма;

(106.7)

При переходе к следующим приближениям диаграммы усложняются за счет добавления новых вершин. Не все такие диаграммы, однако, дают нечто существенно новое. Так, в третьем порядке возникают диаграммы

(106.8)

Первые три можно рассечь (по одной фотонной или электронной линии) на простую вершину (106,7) и собственно-энергетическую часть второго порядка; для четвертой диаграммы такое разбиение невозможно. Эта ситуация имеет общий характер. Поправки первого рода приведут просто к замене в (106,6) множителей G и D точными пропагаторами З и Остальные же члены разложения в сумме дадут новую величину, которая заменит в (106,6) множитель Обозначив эту величину получим, таким образом, по определению

(106,9)

Блок, соединенный с другими частями диаграммы одной фотонной и двумя электронными линиями, называют вершинной частью, если этот блок нельзя разделить на части, соединенные между собой лишь одной (электронной или фотонной) линией. Величина представляет собой сумму всего (бесконечного) множества вершинных частей, включая простую вершину ; ее называют вершинным оператором, или вершинной функцией.

Приведем все диаграммы вершинного оператора с точностью до величин пятого порядка:

(106,10)

(точный вершинный оператор — мы обозначаем черной точкой).

Оператор Г (как и оператор у простой вершины) имеет два матричных (биспинорных) и один 4-векторный индекс; он является функцией двух электронных и одного фотонного импульсов. При этом все три импульса не могут одновременно относиться к реальным частицам: диаграмма (106,4) сама по себе (не как часть более сложной диаграмму) отвечала бы поглощению фотона свободным электроном, но такой процесс несовместим с законом сохранения 4-импульса реальных частиц. Поэтому хотя бы один из трех концов диаграммы должен относиться к виртуальной частице (или к внешнему полю).

Вершинные части можно разделить еще на две категории: неприводимые и приводимые. Неприводимыми называют те из них, которые не содержат в себе собственно-энергетических поправок к внутренним линиям и в которых нельзя выделить частей, представляющих собой поправки (более низкого порядка) к внутренним вершинам. Так, из диаграмм (106,10) неприводимы лишь б) и г) (не считая простой вершины а). Диаграммы ж), з), и) содержат собственно-энергетические части; в диаграмме в) верхний горизонтальный пунктир можно рассматривать как поправку к верхней вершине, а боковые пунктиры в диаграммах д) и е) —как поправки к боковым вершинам.

Заменив в неприводимых диаграммах внутренние линии такими же жирными линиями, а вершины — черными точками (т. е. заменив приближенные пропагаторы D, G точными 3), а приближенные вершинные операторы у — точными Г), мы получим, очевидно, совокупность всех вообще вершинных частей.

Таким образом, разложение вершинного оператора имеет вид

Это равенство представляет собой по отношению к Г интегральное уравнение с бесконечным числом членов в правой стороне.

Из изложенного ясен общий принцип составления точных выражений из диаграммных блоков с любым числом концов. Они строятся как средние по вакууму от Г-произведений гейзенберговских операторов: по одному оператору на каждый конечный электрон, — на каждый начальный электрон и - на каждый фотон.

Приведем еще один пример: диаграммы вида

с четырьмя электронными концами («электронная четыреххвостка»). Мы придем к таким диаграммам, рассмотрев функцию

(106,13)

(зависящую, конечно, лишь от разностей четырех аргументов). Ее компоненты Фурье можно представить в виде

(106,14)

причем

В выражении (106,15) первые два члена исключают из определения функции диаграммы, распадающиеся на две не связанные между собой части с двумя внешними концами каждая:

В третьем же члене множители S исключают из определения Г те части диаграммы, которые представляют собой поправки к внешним электронным линиям.

Отметим также, что по свойствам -произведения фермиевских -операторов функции обладают свойствами антисимметрии:

(106,16)

Если импульсы отвечают реальным частицам, то нераспадающиеся диаграммы (106,12) изображают процесс рассеяния двух электронов. Мы получим амплитуду этого процесса, сопоставив внешним концам диаграммы волновые амплитуды частиц (вместо пропагаторов ):

(106,17)

Ввиду (106,16) эта амплитуда автоматически обладает должной антисимметрией по отношению к перестановкам электронов.