§ 45. Дипольное излучение

Применим полученные формулы к испусканию фотона релятивистским электроном в заданном внешнем поле. Ток перехода в этом случае есть матричный элемент оператора

в котором -операторы предполагаются разложенными по системе волновых функций стационарных состояний электрона в данном поле (см. § 32).

Переходу электрона из состояния i в состояние f отвечает матричный элемент Такое изменение чисел заполнения осуществляется оператором и для тока перехода получаем

где и — волновые функции начального и конечного состояний электрона.

Выберем волновую функцию фотона в трехмерно поперечной калибровке (-вектор поляризации ). Тогда в (43,10) произведение . Подставив в (44,4), получим следующую формулу для вероятности излучения (в 1 с) в элемент телесного угла фотона с поляризацией :

где

Суммирование по поляризациям фотона осуществляется путем усреднения по направлениям (в плоскости, перпендикулярной заданному направлению ), после чего результат умножается на 2 соответственно двум независимым возможностям поперечной поляризации фотона. Таким образом, получается формула

Очень важен случай, когда длина волны фотона К велика по сравнению с размерами излучающей системы а. Такая ситуация связана обычно с малостью скоростей частиц по сравнению со скоростью света. В первом приближении по (соответствующем дипольному излучению (ср. II, § 67) в токе перехода (45,3) можно заменить единицей множитель мало меняющийся в области, где или заметно отличны от нуля.

Такая замена означает, другими словами, пренебрежение импульсом фотона по сравнению с импульсами частиц в системе.

В том же приближении интеграл может быть заменен его нерелятивистским выражением, т. е. просто матричным элементом скорости электрона по отношению к шредингеровским волновым функциям. В свою очередь этот элемент где d — дипольный момент электрона (в его орбитальном движении). Таким образом, находим следующую формулу для вероятности дипольного излучения:

(направление фигурирует здесь в неявном виде: вектор должен быть перпендикулярен ). Просуммировав по поляризациям, получим

Ввиду нерелятивистского (по отношению к электрону) характера этих формул их обобщение на любые электронные системы очевидно: под надо понимать матричный элемент полного дипольного момента системы.

Проинтегрировав формулу (45,6) по всем направлениям, найдем полную вероятность излучения:

или в обычных единицах:

Интенсивность излучения получается умножением вероятности на :

Эта формула обнаруживает непосредственную аналогию с классической формулой (см. II (67,11)) для интенсивности дипольного излучения системой периодически движущихся частиц: интенсивность излучения частоты — частота движения частиц, s — целое число) равна

где — компоненты Фурье дипольного момента, т. е. коэффициенты разложения

(45,10)

Квантовая формула (45,8) получается из (45,9) заменой этих компонент Фурье матричными элементами соответствующих переходов. Это правило (выражающее собой принцип соответствия Бора) является частным случаем общего соответствия между компонентами Фурье классических величин и квантовыми матричными элементами в квазиклассическом случае (см. III, § 48). Излучение квазиклассично для переходов между состояниями с большими квантовыми числами; при этом частота перехода мала по сравнению с энергиями излучателя . Это обстоятельство, однако, не привело бы к каким-либо изменениям в виде формулы (45,8), справедливой, для любых переходов. Этим объясняется тот (в известном смысле случайный) факт, что принцип соответствия для интенсивности излучения оказывается справедливым не только в квазиклассическом, но и в общем квантовом случае.